Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8513 / 5439
↖ ↑ ↗
← N 51.631657°
E  7.053223°		 ← 1 516.54 m → N 51.631657°
E  7.075195°		 →
↑
1 516.81 m
↓
↑
1 516.81 m
↓
N 51.618016°
E  7.053223°		 ← 1 517 m →
2 300 644 m²		 N 51.618016°
E  7.075195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519622802734375 y=0.332000732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519622802734375 × 214)
    floor (0.519622802734375 × 16384)
    floor (8513.5)     		tx = 8513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332000732421875 × 214)
    floor (0.332000732421875 × 16384)
    floor (5439.5)     		ty = 5439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8513 / 5439 ti = "14/8513/5439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8513/5439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8513 ÷ 214
    8513 ÷ 16384     		x = 0.51959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5439 ÷ 214
    5439 ÷ 16384     		y = 0.33197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51959228515625 × 2 - 1) × π
    0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33197021484375 × 2 - 1) × π
    0.3360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05576227723212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12310196} λ = 0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05576227723212))-π/2
    2×atan(2.87416522978881)-π/2
    2×1.2359693728928-π/2
    2.4719387457856-1.57079632675     		φ = 0.90114242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90114242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.631657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8513 KachelY 5439 0.12310196 0.90114242 7.053223 51.631657
    Oben rechts KachelX + 1 8514 KachelY 5439 0.12348545 0.90114242 7.075195 51.631657
    Unten links KachelX 8513 KachelY + 1 5440 0.12310196 0.90090434 7.053223 51.618016
    Unten rechts KachelX + 1 8514 KachelY + 1 5440 0.12348545 0.90090434 7.075195 51.618016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90114242-0.90090434) × R
    0.000238080000000029 × 6371000     		dl = 1516.80768000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90114242-0.90090434) × R
    0.000238080000000029 × 6371000     		dr = 1516.80768000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12310196-0.12348545) × cos(0.90114242) × R
    0.00038349 × 0.620714674498393 × 6371000     		do = 1516.53927310451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12310196-0.12348545) × cos(0.90090434) × R
    0.00038349 × 0.620901320323887 × 6371000     		du = 1516.99528894585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90114242)-sin(0.90090434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620714674498393-0.620901320323887)×R²
    abs(0.12348545-0.12310196)×0.00018664582549377×R²
    0.00038349×0.00018664582549377×6371000²
    0.00038349×0.00018664582549377×40589641000000     		ar = 2300644.27149858m²