Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8515 / 5445
↖ ↑ ↗
← N 51.549751°
E  7.097168°		 ← 1 519.28 m → N 51.549751°
E  7.119140°		 →
↑
1 519.48 m
↓
↑
1 519.48 m
↓
N 51.536086°
E  7.097168°		 ← 1 519.73 m →
2 308 862 m²		 N 51.536086°
E  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519744873046875 y=0.332366943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519744873046875 × 214)
    floor (0.519744873046875 × 16384)
    floor (8515.5)     		tx = 8515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332366943359375 × 214)
    floor (0.332366943359375 × 16384)
    floor (5445.5)     		ty = 5445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8515 / 5445 ti = "14/8515/5445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8515/5445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8515 ÷ 214
    8515 ÷ 16384     		x = 0.51971435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5445 ÷ 214
    5445 ÷ 16384     		y = 0.33233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51971435546875 × 2 - 1) × π
    0.0394287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12386895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33233642578125 × 2 - 1) × π
    0.3353271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05346130605035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12386895} λ = 0.12386895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05346130605035))-π/2
    2×atan(2.86755946117955)-π/2
    2×1.23525460530318-π/2
    2.47050921060637-1.57079632675     		φ = 0.89971288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12386895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.097168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89971288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.549751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8515 KachelY 5445 0.12386895 0.89971288 7.097168 51.549751
    Oben rechts KachelX + 1 8516 KachelY 5445 0.12425244 0.89971288 7.119140 51.549751
    Unten links KachelX 8515 KachelY + 1 5446 0.12386895 0.89947438 7.097168 51.536086
    Unten rechts KachelX + 1 8516 KachelY + 1 5446 0.12425244 0.89947438 7.119140 51.536086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89971288-0.89947438) × R
    0.00023850000000003 × 6371000     		dl = 1519.48350000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89971288-0.89947438) × R
    0.00023850000000003 × 6371000     		dr = 1519.48350000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12386895-0.12425244) × cos(0.89971288) × R
    0.00038349 × 0.621834851467758 × 6371000     		do = 1519.27610604348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12386895-0.12425244) × cos(0.89947438) × R
    0.00038349 × 0.622021614673869 × 6371000     		du = 1519.73240867088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89971288)-sin(0.89947438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621834851467758-0.622021614673869)×R²
    abs(0.12425244-0.12386895)×0.000186763206110663×R²
    0.00038349×0.000186763206110663×6371000²
    0.00038349×0.000186763206110663×40589641000000     		ar = 2308861.65817806m²