Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8516 / 5444
↖ ↑ ↗
← N 51.563412°
E  7.119140°		 ← 1 518.86 m → N 51.563412°
E  7.141113°		 →
↑
1 519.10 m
↓
↑
1 519.10 m
↓
N 51.549751°
E  7.119140°		 ← 1 519.32 m →
2 307 648 m²		 N 51.549751°
E  7.141113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519805908203125 y=0.332305908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519805908203125 × 214)
    floor (0.519805908203125 × 16384)
    floor (8516.5)     		tx = 8516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332305908203125 × 214)
    floor (0.332305908203125 × 16384)
    floor (5444.5)     		ty = 5444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8516 / 5444 ti = "14/8516/5444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8516/5444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8516 ÷ 214
    8516 ÷ 16384     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5444 ÷ 214
    5444 ÷ 16384     		y = 0.332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332275390625 × 2 - 1) × π
    0.33544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05384480124731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05384480124731))-π/2
    2×atan(2.8686593673508)-π/2
    2×1.2353738227375-π/2
    2.470747645475-1.57079632675     		φ = 0.89995132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89995132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.563412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8516 KachelY 5444 0.12425244 0.89995132 7.119140 51.563412
    Oben rechts KachelX + 1 8517 KachelY 5444 0.12463594 0.89995132 7.141113 51.563412
    Unten links KachelX 8516 KachelY + 1 5445 0.12425244 0.89971288 7.119140 51.549751
    Unten rechts KachelX + 1 8517 KachelY + 1 5445 0.12463594 0.89971288 7.141113 51.549751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89995132-0.89971288) × R
    0.000238439999999951 × 6371000     		dl = 1519.10123999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89995132-0.89971288) × R
    0.000238439999999951 × 6371000     		dr = 1519.10123999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12463594) × cos(0.89995132) × R
    0.000383499999999995 × 0.621648099888082 × 6371000     		do = 1518.85943702238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12463594) × cos(0.89971288) × R
    0.000383499999999995 × 0.621834851467758 × 6371000     		du = 1519.31572314185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89995132)-sin(0.89971288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621648099888082-0.621834851467758)×R²
    abs(0.12463594-0.12425244)×0.000186751579675848×R²
    0.000383499999999995×0.000186751579675848×6371000²
    0.000383499999999995×0.000186751579675848×40589641000000     		ar = 2307647.8375033m²