Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8518 / 5438
↖ ↑ ↗
← N 51.645294°
E  7.163086°		 ← 1 516.12 m → N 51.645294°
E  7.185059°		 →
↑
1 516.30 m
↓
↑
1 516.30 m
↓
N 51.631657°
E  7.163086°		 ← 1 516.58 m →
2 299 240 m²		 N 51.631657°
E  7.185059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519927978515625 y=0.331939697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519927978515625 × 214)
    floor (0.519927978515625 × 16384)
    floor (8518.5)     		tx = 8518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331939697265625 × 214)
    floor (0.331939697265625 × 16384)
    floor (5438.5)     		ty = 5438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8518 / 5438 ti = "14/8518/5438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8518/5438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8518 ÷ 214
    8518 ÷ 16384     		x = 0.5198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5438 ÷ 214
    5438 ÷ 16384     		y = 0.3319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5198974609375 × 2 - 1) × π
    0.039794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12501943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3319091796875 × 2 - 1) × π
    0.336181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05614577242908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12501943} λ = 0.12501943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05614577242908))-π/2
    2×atan(2.87526766972641)-π/2
    2×1.23608837554859-π/2
    2.47217675109718-1.57079632675     		φ = 0.90138042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12501943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.163086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90138042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.645294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8518 KachelY 5438 0.12501943 0.90138042 7.163086 51.645294
    Oben rechts KachelX + 1 8519 KachelY 5438 0.12540293 0.90138042 7.185059 51.645294
    Unten links KachelX 8518 KachelY + 1 5439 0.12501943 0.90114242 7.163086 51.631657
    Unten rechts KachelX + 1 8519 KachelY + 1 5439 0.12540293 0.90114242 7.185059 51.631657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90138042-0.90114242) × R
    0.00023799999999996 × 6371000     		dl = 1516.29799999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90138042-0.90114242) × R
    0.00023799999999996 × 6371000     		dr = 1516.29799999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12501943-0.12540293) × cos(0.90138042) × R
    0.000383500000000009 × 0.620528056224239 × 6371000     		do = 1516.12285841951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12501943-0.12540293) × cos(0.90114242) × R
    0.000383500000000009 × 0.620714674498393 × 6371000     		du = 1516.57881883646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90138042)-sin(0.90114242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620528056224239-0.620714674498393)×R²
    abs(0.12540293-0.12501943)×0.00018661827415456×R²
    0.000383500000000009×0.00018661827415456×6371000²
    0.000383500000000009×0.00018661827415456×40589641000000     		ar = 2299239.75476297m²