Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8536 / 5528
↖ ↑ ↗
← N 50.401515°
E  7.558594°		 ← 1 557.31 m → N 50.401515°
E  7.580566°		 →
↑
1 557.58 m
↓
↑
1 557.58 m
↓
N 50.387508°
E  7.558594°		 ← 1 557.77 m →
2 426 003 m²		 N 50.387508°
E  7.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521026611328125 y=0.337432861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521026611328125 × 214)
    floor (0.521026611328125 × 16384)
    floor (8536.5)     		tx = 8536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337432861328125 × 214)
    floor (0.337432861328125 × 16384)
    floor (5528.5)     		ty = 5528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8536 / 5528 ti = "14/8536/5528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8536/5528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8536 ÷ 214
    8536 ÷ 16384     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5528 ÷ 214
    5528 ÷ 16384     		y = 0.33740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33740234375 × 2 - 1) × π
    0.3251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02163120470264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02163120470264))-π/2
    2×atan(2.77772210380975)-π/2
    2×1.2252343585766-π/2
    2.45046871715321-1.57079632675     		φ = 0.87967239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87967239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.401515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8536 KachelY 5528 0.13192235 0.87967239 7.558594 50.401515
    Oben rechts KachelX + 1 8537 KachelY 5528 0.13230584 0.87967239 7.580566 50.401515
    Unten links KachelX 8536 KachelY + 1 5529 0.13192235 0.87942791 7.558594 50.387508
    Unten rechts KachelX + 1 8537 KachelY + 1 5529 0.13230584 0.87942791 7.580566 50.387508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87967239-0.87942791) × R
    0.000244479999999991 × 6371000     		dl = 1557.58207999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87967239-0.87942791) × R
    0.000244479999999991 × 6371000     		dr = 1557.58207999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13230584) × cos(0.87967239) × R
    0.000383490000000014 × 0.637403611766001 × 6371000     		do = 1557.31393146617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13230584) × cos(0.87942791) × R
    0.000383490000000014 × 0.637591971914127 × 6371000     		du = 1557.77413576592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87967239)-sin(0.87942791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637403611766001-0.637591971914127)×R²
    abs(0.13230584-0.13192235)×0.000188360148125954×R²
    0.000383490000000014×0.000188360148125954×6371000²
    0.000383490000000014×0.000188360148125954×40589641000000     		ar = 2426002.68765458m²