Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8546 / 5538
↖ ↑ ↗
← N 50.261254°
E  7.778320°		 ← 1 561.92 m → N 50.261254°
E  7.800293°		 →
↑
1 562.17 m
↓
↑
1 562.17 m
↓
N 50.247205°
E  7.778320°		 ← 1 562.38 m →
2 440 340 m²		 N 50.247205°
E  7.800293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521636962890625 y=0.338043212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521636962890625 × 214)
    floor (0.521636962890625 × 16384)
    floor (8546.5)     		tx = 8546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338043212890625 × 214)
    floor (0.338043212890625 × 16384)
    floor (5538.5)     		ty = 5538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8546 / 5538 ti = "14/8546/5538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8546/5538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8546 ÷ 214
    8546 ÷ 16384     		x = 0.5216064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5538 ÷ 214
    5538 ÷ 16384     		y = 0.3380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5216064453125 × 2 - 1) × π
    0.043212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13575730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3380126953125 × 2 - 1) × π
    0.323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01779625273303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13575730} λ = 0.13575730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01779625273303))-π/2
    2×atan(2.76709007265146)-π/2
    2×1.22401034612413-π/2
    2.44802069224825-1.57079632675     		φ = 0.87722437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13575730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.778320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87722437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.261254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8546 KachelY 5538 0.13575730 0.87722437 7.778320 50.261254
    Oben rechts KachelX + 1 8547 KachelY 5538 0.13614079 0.87722437 7.800293 50.261254
    Unten links KachelX 8546 KachelY + 1 5539 0.13575730 0.87697917 7.778320 50.247205
    Unten rechts KachelX + 1 8547 KachelY + 1 5539 0.13614079 0.87697917 7.800293 50.247205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87722437-0.87697917) × R
    0.000245199999999945 × 6371000     		dl = 1562.16919999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87722437-0.87697917) × R
    0.000245199999999945 × 6371000     		dr = 1562.16919999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13575730-0.13614079) × cos(0.87722437) × R
    0.000383490000000014 × 0.639287973062668 × 6371000     		do = 1561.91783085589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13575730-0.13614079) × cos(0.87697917) × R
    0.000383490000000014 × 0.639476504653314 × 6371000     		du = 1562.37845402654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87722437)-sin(0.87697917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639287973062668-0.639476504653314)×R²
    abs(0.13614079-0.13575730)×0.000188531590645691×R²
    0.000383490000000014×0.000188531590645691×6371000²
    0.000383490000000014×0.000188531590645691×40589641000000     		ar = 2440339.72618468m²