Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8548 / 5540
↖ ↑ ↗
← N 50.233152°
E  7.822266°		 ← 1 562.88 m → N 50.233152°
E  7.844239°		 →
↑
1 563.06 m
↓
↑
1 563.06 m
↓
N 50.219095°
E  7.822266°		 ← 1 563.34 m →
2 443 237 m²		 N 50.219095°
E  7.844239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521759033203125 y=0.338165283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521759033203125 × 214)
    floor (0.521759033203125 × 16384)
    floor (8548.5)     		tx = 8548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338165283203125 × 214)
    floor (0.338165283203125 × 16384)
    floor (5540.5)     		ty = 5540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8548 / 5540 ti = "14/8548/5540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8548/5540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8548 ÷ 214
    8548 ÷ 16384     		x = 0.521728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5540 ÷ 214
    5540 ÷ 16384     		y = 0.338134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521728515625 × 2 - 1) × π
    0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338134765625 × 2 - 1) × π
    0.32373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01702926233911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13652429} λ = 0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01702926233911))-π/2
    2×atan(2.76496855484252)-π/2
    2×1.22376510995358-π/2
    2.44753021990717-1.57079632675     		φ = 0.87673389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87673389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.233152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8548 KachelY 5540 0.13652429 0.87673389 7.822266 50.233152
    Oben rechts KachelX + 1 8549 KachelY 5540 0.13690779 0.87673389 7.844239 50.233152
    Unten links KachelX 8548 KachelY + 1 5541 0.13652429 0.87648855 7.822266 50.219095
    Unten rechts KachelX + 1 8549 KachelY + 1 5541 0.13690779 0.87648855 7.844239 50.219095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87673389-0.87648855) × R
    0.000245339999999983 × 6371000     		dl = 1563.06113999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87673389-0.87648855) × R
    0.000245339999999983 × 6371000     		dr = 1563.06113999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13652429-0.13690779) × cos(0.87673389) × R
    0.000383500000000009 × 0.639665059288992 × 6371000     		do = 1562.87988656205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13652429-0.13690779) × cos(0.87648855) × R
    0.000383500000000009 × 0.639853621550772 × 6371000     		du = 1563.34059668217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87673389)-sin(0.87648855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639665059288992-0.639853621550772)×R²
    abs(0.13690779-0.13652429)×0.000188562261780212×R²
    0.000383500000000009×0.000188562261780212×6371000²
    0.000383500000000009×0.000188562261780212×40589641000000     		ar = 2443236.88847165m²