Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8552 / 5544
↖ ↑ ↗
← N 50.176898°
E  7.910156°		 ← 1 564.72 m → N 50.176898°
E  7.932129°		 →
↑
1 564.91 m
↓
↑
1 564.91 m
↓
N 50.162825°
E  7.910156°		 ← 1 565.18 m →
2 449 009 m²		 N 50.162825°
E  7.932129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522003173828125 y=0.338409423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522003173828125 × 214)
    floor (0.522003173828125 × 16384)
    floor (8552.5)     		tx = 8552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338409423828125 × 214)
    floor (0.338409423828125 × 16384)
    floor (5544.5)     		ty = 5544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8552 / 5544 ti = "14/8552/5544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8552/5544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8552 ÷ 214
    8552 ÷ 16384     		x = 0.52197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5544 ÷ 214
    5544 ÷ 16384     		y = 0.33837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52197265625 × 2 - 1) × π
    0.0439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13805827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33837890625 × 2 - 1) × π
    0.3232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01549528155127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13805827} λ = 0.13805827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01549528155127))-π/2
    2×atan(2.76073039765732)-π/2
    2×1.22327420372149-π/2
    2.44654840744299-1.57079632675     		φ = 0.87575208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13805827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87575208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.176898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8552 KachelY 5544 0.13805827 0.87575208 7.910156 50.176898
    Oben rechts KachelX + 1 8553 KachelY 5544 0.13844177 0.87575208 7.932129 50.176898
    Unten links KachelX 8552 KachelY + 1 5545 0.13805827 0.87550645 7.910156 50.162825
    Unten rechts KachelX + 1 8553 KachelY + 1 5545 0.13844177 0.87550645 7.932129 50.162825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87575208-0.87550645) × R
    0.000245629999999997 × 6371000     		dl = 1564.90872999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87575208-0.87550645) × R
    0.000245629999999997 × 6371000     		dr = 1564.90872999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13805827-0.13844177) × cos(0.87575208) × R
    0.000383499999999981 × 0.640419422818882 × 6371000     		do = 1564.72300675571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13805827-0.13844177) × cos(0.87550645) × R
    0.000383499999999981 × 0.640608053568081 × 6371000     		du = 1565.18388420966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87575208)-sin(0.87550645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640419422818882-0.640608053568081)×R²
    abs(0.13844177-0.13805827)×0.000188630749198948×R²
    0.000383499999999981×0.000188630749198948×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188630749198948×40589641000000     		ar = 2449009.32119185m²