Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8560 / 5552
↖ ↑ ↗
← N 50.064192°
E  8.085937°		 ← 1 568.41 m → N 50.064192°
E  8.107910°		 →
↑
1 568.60 m
↓
↑
1 568.60 m
↓
N 50.050085°
E  8.085937°		 ← 1 568.87 m →
2 460 578 m²		 N 50.050085°
E  8.107910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522491455078125 y=0.338897705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522491455078125 × 214)
    floor (0.522491455078125 × 16384)
    floor (8560.5)     		tx = 8560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338897705078125 × 214)
    floor (0.338897705078125 × 16384)
    floor (5552.5)     		ty = 5552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8560 / 5552 ti = "14/8560/5552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8560/5552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8560 ÷ 214
    8560 ÷ 16384     		x = 0.5224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5552 ÷ 214
    5552 ÷ 16384     		y = 0.3388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3388671875 × 2 - 1) × π
    0.322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14112623} λ = 0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01242731997559))-π/2
    2×atan(2.75227356213295)-π/2
    2×1.22229065496538-π/2
    2.44458130993076-1.57079632675     		φ = 0.87378498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87378498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.064192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8560 KachelY 5552 0.14112623 0.87378498 8.085937 50.064192
    Oben rechts KachelX + 1 8561 KachelY 5552 0.14150973 0.87378498 8.107910 50.064192
    Unten links KachelX 8560 KachelY + 1 5553 0.14112623 0.87353877 8.085937 50.050085
    Unten rechts KachelX + 1 8561 KachelY + 1 5553 0.14150973 0.87353877 8.107910 50.050085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87378498-0.87353877) × R
    0.000246210000000024 × 6371000     		dl = 1568.60391000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87378498-0.87353877) × R
    0.000246210000000024 × 6371000     		dr = 1568.60391000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14112623-0.14150973) × cos(0.87378498) × R
    0.000383500000000009 × 0.641928965496643 × 6371000     		do = 1568.41123992523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14112623-0.14150973) × cos(0.87353877) × R
    0.000383500000000009 × 0.642117731030057 × 6371000     		du = 1568.87244669456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87378498)-sin(0.87353877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641928965496643-0.642117731030057)×R²
    abs(0.14150973-0.14112623)×0.000188765533414181×R²
    0.000383500000000009×0.000188765533414181×6371000²
    0.000383500000000009×0.000188765533414181×40589641000000     		ar = 2460577.74123633m²