Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8639 / 5569
↖ ↑ ↗
← N 49.823809°
E  9.821777°		 ← 1 576.26 m → N 49.823809°
E  9.843750°		 →
↑
1 576.44 m
↓
↑
1 576.44 m
↓
N 49.809632°
E  9.821777°		 ← 1 576.72 m →
2 485 239 m²		 N 49.809632°
E  9.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527313232421875 y=0.339935302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527313232421875 × 214)
    floor (0.527313232421875 × 16384)
    floor (8639.5)     		tx = 8639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339935302734375 × 214)
    floor (0.339935302734375 × 16384)
    floor (5569.5)     		ty = 5569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8639 / 5569 ti = "14/8639/5569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8639/5569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8639 ÷ 214
    8639 ÷ 16384     		x = 0.52728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5569 ÷ 214
    5569 ÷ 16384     		y = 0.33990478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52728271484375 × 2 - 1) × π
    0.0545654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17142235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33990478515625 × 2 - 1) × π
    0.3201904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00590790162726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17142235} λ = 0.17142235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00590790162726))-π/2
    2×atan(2.73438870216086)-π/2
    2×1.22019292059849-π/2
    2.44038584119697-1.57079632675     		φ = 0.86958951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17142235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.821777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86958951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.823809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8639 KachelY 5569 0.17142235 0.86958951 9.821777 49.823809
    Oben rechts KachelX + 1 8640 KachelY 5569 0.17180585 0.86958951 9.843750 49.823809
    Unten links KachelX 8639 KachelY + 1 5570 0.17142235 0.86934207 9.821777 49.809632
    Unten rechts KachelX + 1 8640 KachelY + 1 5570 0.17180585 0.86934207 9.843750 49.809632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86958951-0.86934207) × R
    0.000247439999999988 × 6371000     		dl = 1576.44023999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86958951-0.86934207) × R
    0.000247439999999988 × 6371000     		dr = 1576.44023999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17142235-0.17180585) × cos(0.86958951) × R
    0.000383500000000009 × 0.645140242289256 × 6371000     		do = 1576.25728347017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17142235-0.17180585) × cos(0.86934207) × R
    0.000383500000000009 × 0.645329282577622 × 6371000     		du = 1576.71916154236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86958951)-sin(0.86934207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645140242289256-0.645329282577622)×R²
    abs(0.17180585-0.17142235)×0.00018904028836586×R²
    0.000383500000000009×0.00018904028836586×6371000²
    0.000383500000000009×0.00018904028836586×40589641000000     		ar = 2485239.48452591m²