Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8704 / 4607
↖ ↑ ↗
← N 61.616843°
E 11.250000°		 ← 1 161.45 m → N 61.616843°
E 11.271973°		 →
↑
1 161.62 m
↓
↑
1 161.62 m
↓
N 61.606397°
E 11.250000°		 ← 1 161.84 m →
1 349 397 m²		 N 61.606397°
E 11.271973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531280517578125 y=0.281219482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531280517578125 × 214)
    floor (0.531280517578125 × 16384)
    floor (8704.5)     		tx = 8704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281219482421875 × 214)
    floor (0.281219482421875 × 16384)
    floor (4607.5)     		ty = 4607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8704 / 4607 ti = "14/8704/4607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8704/4607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8704 ÷ 214
    8704 ÷ 16384     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4607 ÷ 214
    4607 ÷ 16384     		y = 0.28118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28118896484375 × 2 - 1) × π
    0.4376220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.37483028110321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37483028110321))-π/2
    2×atan(3.95440552862123)-π/2
    2×1.32310655746286-π/2
    2.64621311492572-1.57079632675     		φ = 1.07541679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07541679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.616843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8704 KachelY 4607 0.19634954 1.07541679 11.250000 61.616843
    Oben rechts KachelX + 1 8705 KachelY 4607 0.19673304 1.07541679 11.271973 61.616843
    Unten links KachelX 8704 KachelY + 1 4608 0.19634954 1.07523446 11.250000 61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 8705 KachelY + 1 4608 0.19673304 1.07523446 11.271973 61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07541679-1.07523446) × R
    0.000182330000000119 × 6371000     		dl = 1161.62443000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07541679-1.07523446) × R
    0.000182330000000119 × 6371000     		dr = 1161.62443000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.19673304) × cos(1.07541679) × R
    0.000383500000000009 × 0.475365597552951 × 6371000     		do = 1161.45054414081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.19673304) × cos(1.07523446) × R
    0.000383500000000009 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 1161.84245556103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07541679)-sin(1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475365597552951-0.475526001461152)×R²
    abs(0.19673304-0.19634954)×0.000160403908200712×R²
    0.000383500000000009×0.000160403908200712×6371000²
    0.000383500000000009×0.000160403908200712×40589641000000     		ar = 1349396.95698898m²