Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8719 / 5647
↖ ↑ ↗
← N 48.705463°
E 11.579590°		 ← 1 612.35 m → N 48.705463°
E 11.601562°		 →
↑
1 612.63 m
↓
↑
1 612.63 m
↓
N 48.690960°
E 11.579590°		 ← 1 612.82 m →
2 600 496 m²		 N 48.690960°
E 11.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532196044921875 y=0.344696044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532196044921875 × 214)
    floor (0.532196044921875 × 16384)
    floor (8719.5)     		tx = 8719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344696044921875 × 214)
    floor (0.344696044921875 × 16384)
    floor (5647.5)     		ty = 5647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8719 / 5647 ti = "14/8719/5647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8719/5647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8719 ÷ 214
    8719 ÷ 16384     		x = 0.53216552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5647 ÷ 214
    5647 ÷ 16384     		y = 0.34466552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53216552734375 × 2 - 1) × π
    0.0643310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20210197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34466552734375 × 2 - 1) × π
    0.3106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.975995276264343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20210197} λ = 0.20210197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975995276264343))-π/2
    2×atan(2.65380716830601)-π/2
    2×1.21043350900798-π/2
    2.42086701801596-1.57079632675     		φ = 0.85007069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20210197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.579590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85007069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.705463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8719 KachelY 5647 0.20210197 0.85007069 11.579590 48.705463
    Oben rechts KachelX + 1 8720 KachelY 5647 0.20248546 0.85007069 11.601562 48.705463
    Unten links KachelX 8719 KachelY + 1 5648 0.20210197 0.84981757 11.579590 48.690960
    Unten rechts KachelX + 1 8720 KachelY + 1 5648 0.20248546 0.84981757 11.601562 48.690960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85007069-0.84981757) × R
    0.000253119999999996 × 6371000     		dl = 1612.62751999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85007069-0.84981757) × R
    0.000253119999999996 × 6371000     		dr = 1612.62751999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20210197-0.20248546) × cos(0.85007069) × R
    0.000383490000000014 × 0.659930036224194 × 6371000     		do = 1612.35082486825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20210197-0.20248546) × cos(0.84981757) × R
    0.000383490000000014 × 0.66012019098618 × 6371000     		du = 1612.81541379512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85007069)-sin(0.84981757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659930036224194-0.66012019098618)×R²
    abs(0.20248546-0.20210197)×0.000190154761985584×R²
    0.000383490000000014×0.000190154761985584×6371000²
    0.000383490000000014×0.000190154761985584×40589641000000     		ar = 2600495.9304052m²