Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8722 / 5650
↖ ↑ ↗
← N 48.661943°
E 11.645508°		 ← 1 613.79 m → N 48.661943°
E 11.667480°		 →
↑
1 613.97 m
↓
↑
1 613.97 m
↓
N 48.647428°
E 11.645508°		 ← 1 614.25 m →
2 604 971 m²		 N 48.647428°
E 11.667480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532379150390625 y=0.344879150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532379150390625 × 214)
    floor (0.532379150390625 × 16384)
    floor (8722.5)     		tx = 8722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344879150390625 × 214)
    floor (0.344879150390625 × 16384)
    floor (5650.5)     		ty = 5650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8722 / 5650 ti = "14/8722/5650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8722/5650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8722 ÷ 214
    8722 ÷ 16384     		x = 0.5323486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5650 ÷ 214
    5650 ÷ 16384     		y = 0.3448486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5323486328125 × 2 - 1) × π
    0.064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20325245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3448486328125 × 2 - 1) × π
    0.310302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.974844790673462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20325245} λ = 0.20325245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974844790673462))-π/2
    2×atan(2.65075575703682)-π/2
    2×1.21005372492886-π/2
    2.42010744985772-1.57079632675     		φ = 0.84931112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20325245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84931112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.661943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8722 KachelY 5650 0.20325245 0.84931112 11.645508 48.661943
    Oben rechts KachelX + 1 8723 KachelY 5650 0.20363595 0.84931112 11.667480 48.661943
    Unten links KachelX 8722 KachelY + 1 5651 0.20325245 0.84905779 11.645508 48.647428
    Unten rechts KachelX + 1 8723 KachelY + 1 5651 0.20363595 0.84905779 11.667480 48.647428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84931112-0.84905779) × R
    0.000253329999999941 × 6371000     		dl = 1613.96542999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84931112-0.84905779) × R
    0.000253329999999941 × 6371000     		dr = 1613.96542999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20325245-0.20363595) × cos(0.84931112) × R
    0.000383500000000009 × 0.660500531290181 × 6371000     		do = 1613.78674733991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20325245-0.20363595) × cos(0.84905779) × R
    0.000383500000000009 × 0.660690716737581 × 6371000     		du = 1614.25142335456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84931112)-sin(0.84905779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660500531290181-0.660690716737581)×R²
    abs(0.20363595-0.20325245)×0.000190185447400126×R²
    0.000383500000000009×0.000190185447400126×6371000²
    0.000383500000000009×0.000190185447400126×40589641000000     		ar = 2604971.02104207m²