Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8776 / 5704
↖ ↑ ↗
← N 47.872144°
E 12.832032°		 ← 1 638.88 m → N 47.872144°
E 12.854004°		 →
↑
1 639.13 m
↓
↑
1 639.13 m
↓
N 47.857403°
E 12.832032°		 ← 1 639.34 m →
2 686 717 m²		 N 47.857403°
E 12.854004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535675048828125 y=0.348175048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535675048828125 × 214)
    floor (0.535675048828125 × 16384)
    floor (8776.5)     		tx = 8776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348175048828125 × 214)
    floor (0.348175048828125 × 16384)
    floor (5704.5)     		ty = 5704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8776 / 5704 ti = "14/8776/5704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8776/5704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8776 ÷ 214
    8776 ÷ 16384     		x = 0.53564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5704 ÷ 214
    5704 ÷ 16384     		y = 0.34814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53564453125 × 2 - 1) × π
    0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34814453125 × 2 - 1) × π
    0.3037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.954136050037598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22396120} λ = 0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954136050037598))-π/2
    2×atan(2.59642643112413)-π/2
    2×1.20316142951122-π/2
    2.40632285902243-1.57079632675     		φ = 0.83552653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83552653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.872144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8776 KachelY 5704 0.22396120 0.83552653 12.832032 47.872144
    Oben rechts KachelX + 1 8777 KachelY 5704 0.22434469 0.83552653 12.854004 47.872144
    Unten links KachelX 8776 KachelY + 1 5705 0.22396120 0.83526925 12.832032 47.857403
    Unten rechts KachelX + 1 8777 KachelY + 1 5705 0.22434469 0.83526925 12.854004 47.857403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83552653-0.83526925) × R
    0.000257280000000026 × 6371000     		dl = 1639.13088000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83552653-0.83526925) × R
    0.000257280000000026 × 6371000     		dr = 1639.13088000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22396120-0.22434469) × cos(0.83552653) × R
    0.000383490000000014 × 0.670787274788976 × 6371000     		do = 1638.87739070828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22396120-0.22434469) × cos(0.83526925) × R
    0.000383490000000014 × 0.67097806424777 × 6371000     		du = 1639.34353033578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83552653)-sin(0.83526925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670787274788976-0.67097806424777)×R²
    abs(0.22434469-0.22396120)×0.000190789458793805×R²
    0.000383490000000014×0.000190789458793805×6371000²
    0.000383490000000014×0.000190789458793805×40589641000000     		ar = 2686716.58639302m²