Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8962 / 5378
↖ ↑ ↗
← N 52.456010°
E 16.918945°		 ← 1 488.86 m → N 52.456010°
E 16.940918°		 →
↑
1 489.09 m
↓
↑
1 489.09 m
↓
N 52.442618°
E 16.918945°		 ← 1 489.31 m →
2 217 392 m²		 N 52.442618°
E 16.940918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547027587890625 y=0.328277587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547027587890625 × 214)
    floor (0.547027587890625 × 16384)
    floor (8962.5)     		tx = 8962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328277587890625 × 214)
    floor (0.328277587890625 × 16384)
    floor (5378.5)     		ty = 5378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8962 / 5378 ti = "14/8962/5378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8962/5378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8962 ÷ 214
    8962 ÷ 16384     		x = 0.5469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5378 ÷ 214
    5378 ÷ 16384     		y = 0.3282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5469970703125 × 2 - 1) × π
    0.093994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29529130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3282470703125 × 2 - 1) × π
    0.343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0791554842467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29529130} λ = 0.29529130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0791554842467))-π/2
    2×atan(2.94219377258352)-π/2
    2×1.24316320156738-π/2
    2.48632640313475-1.57079632675     		φ = 0.91553008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29529130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.918945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91553008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.456010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8962 KachelY 5378 0.29529130 0.91553008 16.918945 52.456010
    Oben rechts KachelX + 1 8963 KachelY 5378 0.29567480 0.91553008 16.940918 52.456010
    Unten links KachelX 8962 KachelY + 1 5379 0.29529130 0.91529635 16.918945 52.442618
    Unten rechts KachelX + 1 8963 KachelY + 1 5379 0.29567480 0.91529635 16.940918 52.442618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91553008-0.91529635) × R
    0.000233730000000043 × 6371000     		dl = 1489.09383000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91553008-0.91529635) × R
    0.000233730000000043 × 6371000     		dr = 1489.09383000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29529130-0.29567480) × cos(0.91553008) × R
    0.000383500000000037 × 0.609370368205133 × 6371000     		do = 1488.86151917283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29529130-0.29567480) × cos(0.91529635) × R
    0.000383500000000037 × 0.609555672736351 × 6371000     		du = 1489.3142697499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91553008)-sin(0.91529635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609370368205133-0.609555672736351)×R²
    abs(0.29567480-0.29529130)×0.0001853045312179×R²
    0.000383500000000037×0.0001853045312179×6371000²
    0.000383500000000037×0.0001853045312179×40589641000000     		ar = 2217391.60606372m²