Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 897 / 641
↖ ↑ ↗
← N 55.677585°
W 22.324219°		 ← 11.021 km → N 55.677585°
W 22.148438°		 →
↑
11.035 km
↓
↑
11.035 km
↓
N 55.578345°
W 22.324219°		 ← 11.049 km →
121.770 km²		 N 55.578345°
W 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438232421875 y=0.313232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438232421875 × 211)
    floor (0.438232421875 × 2048)
    floor (897.5)     		tx = 897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313232421875 × 211)
    floor (0.313232421875 × 2048)
    floor (641.5)     		ty = 641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 897 / 641 ti = "11/897/641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/897/641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 897 ÷ 211
    897 ÷ 2048     		x = 0.43798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 641 ÷ 211
    641 ÷ 2048     		y = 0.31298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38963112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31298828125 × 2 - 1) × π
    0.3740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17502928348682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38963112} λ = -0.38963112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17502928348682))-π/2
    2×atan(3.23823776934257)-π/2
    2×1.27127674715327-π/2
    2.54255349430654-1.57079632675     		φ = 0.97175717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38963112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97175717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.677585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 897 KachelY 641 -0.38963112 0.97175717 -22.324219 55.677585
    Oben rechts KachelX + 1 898 KachelY 641 -0.38656316 0.97175717 -22.148438 55.677585
    Unten links KachelX 897 KachelY + 1 642 -0.38963112 0.97002511 -22.324219 55.578345
    Unten rechts KachelX + 1 898 KachelY + 1 642 -0.38656316 0.97002511 -22.148438 55.578345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97175717-0.97002511) × R
    0.00173205999999992 × 6371000     		dl = 11034.9542599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97175717-0.97002511) × R
    0.00173205999999992 × 6371000     		dr = 11034.9542599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38963112--0.38656316) × cos(0.97175717) × R
    0.00306795999999998 × 0.563849194755044 × 6371000     		do = 11020.9812269696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38963112--0.38656316) × cos(0.97002511) × R
    0.00306795999999998 × 0.56527881810188 × 6371000     		du = 11048.9246065358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97175717)-sin(0.97002511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563849194755044-0.56527881810188)×R²
    abs(-0.38656316--0.38963112)×0.00142962334683661×R²
    0.00306795999999998×0.00142962334683661×6371000²
    0.00306795999999998×0.00142962334683661×40589641000000     		ar = 121770231.14049m²