Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8976 / 5392
↖ ↑ ↗
← N 52.268157°
E 17.226562°		 ← 1 495.21 m → N 52.268157°
E 17.248535°		 →
↑
1 495.40 m
↓
↑
1 495.40 m
↓
N 52.254709°
E 17.226562°		 ← 1 495.66 m →
2 236 270 m²		 N 52.254709°
E 17.248535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547882080078125 y=0.329132080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547882080078125 × 214)
    floor (0.547882080078125 × 16384)
    floor (8976.5)     		tx = 8976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329132080078125 × 214)
    floor (0.329132080078125 × 16384)
    floor (5392.5)     		ty = 5392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8976 / 5392 ti = "14/8976/5392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8976/5392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8976 ÷ 214
    8976 ÷ 16384     		x = 0.5478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5392 ÷ 214
    5392 ÷ 16384     		y = 0.3291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5478515625 × 2 - 1) × π
    0.095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30066023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3291015625 × 2 - 1) × π
    0.341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30066023} λ = 0.30066023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07378655148926))-π/2
    2×atan(2.9264396612845)-π/2
    2×1.24152388344946-π/2
    2.48304776689892-1.57079632675     		φ = 0.91225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30066023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.226562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.268157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8976 KachelY 5392 0.30066023 0.91225144 17.226562 52.268157
    Oben rechts KachelX + 1 8977 KachelY 5392 0.30104373 0.91225144 17.248535 52.268157
    Unten links KachelX 8976 KachelY + 1 5393 0.30066023 0.91201672 17.226562 52.254709
    Unten rechts KachelX + 1 8977 KachelY + 1 5393 0.30104373 0.91201672 17.248535 52.254709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91225144-0.91201672) × R
    0.000234720000000022 × 6371000     		dl = 1495.40112000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91225144-0.91201672) × R
    0.000234720000000022 × 6371000     		dr = 1495.40112000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30066023-0.30104373) × cos(0.91225144) × R
    0.000383500000000037 × 0.611966675158383 × 6371000     		do = 1495.2050201311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30066023-0.30104373) × cos(0.91201672) × R
    0.000383500000000037 × 0.612152294485675 × 6371000     		du = 1495.65853984266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91225144)-sin(0.91201672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611966675158383-0.612152294485675)×R²
    abs(0.30104373-0.30066023)×0.00018561932729233×R²
    0.000383500000000037×0.00018561932729233×6371000²
    0.000383500000000037×0.00018561932729233×40589641000000     		ar = 2236270.36894247m²