Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
4 / 9 / 6
↖ ↑ ↗
← N 40.979898°
E 22.500000°		 ← 1 888.773 km → N 40.979898°
E 45.000000°		 →
↑
2 116.801 km
↓
↑
2 116.801 km
↓
N 21.943045°
E 22.500000°		 ← 2 320.639 km →
4 496 688 km²		 N 21.943045°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 4 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59375 y=0.40625 und der Vergrößerungsstufe zoom=4 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59375 × 24)
    floor (0.59375 × 16)
    floor (9.5)     		tx = 9
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40625 × 24)
    floor (0.40625 × 16)
    floor (6.5)     		ty = 6
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 4 / 9 / 6 ti = "4/9/6"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/4/9/6.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9 ÷ 24
    9 ÷ 16     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6 ÷ 24
    6 ÷ 16     		y = 0.375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Φ = 0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.785398163375))-π/2
    2×atan(2.19328005068878)-π/2
    2×1.14301523761224-π/2
    2.28603047522449-1.57079632675     		φ = 0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9 KachelY 6 0.39269908 0.71523415 22.500000 40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 10 KachelY 6 0.78539816 0.71523415 45.000000 40.979898
    Unten links KachelX 9 KachelY + 1 7 0.39269908 0.38297839 22.500000 21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 10 KachelY + 1 7 0.78539816 0.38297839 45.000000 21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71523415-0.38297839) × R
    0.33225576 × 6371000     		dl = 2116801.44696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71523415-0.38297839) × R
    0.33225576 × 6371000     		dr = 2116801.44696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.78539816) × cos(0.71523415) × R
    0.39269908 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 1888772.96374029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.78539816) × cos(0.38297839) × R
    0.39269908 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 2320638.65153748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71523415)-sin(0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.927555772393619)×R²
    abs(0.78539816-0.39269908)×0.172616064698238×R²
    0.39269908×0.172616064698238×6371000²
    0.39269908×0.172616064698238×40589641000000     		ar = 4496687849823.61m²