Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90111 / 24575
↖ ↑ ↗
← N 74.020300°
E 67.497254°		 ← 84.08 m → N 74.020300°
E 67.500000°		 →
↑
84.10 m
↓
↑
84.10 m
↓
N 74.019543°
E 67.497254°		 ← 84.09 m →
7 071 m²		 N 74.019543°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687496185302734 y=0.187496185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687496185302734 × 217)
    floor (0.687496185302734 × 131072)
    floor (90111.5)     		tx = 90111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187496185302734 × 217)
    floor (0.187496185302734 × 131072)
    floor (24575.5)     		ty = 24575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90111 / 24575 ti = "17/90111/24575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90111/24575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90111 ÷ 217
    90111 ÷ 131072     		x = 0.687492370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24575 ÷ 217
    24575 ÷ 131072     		y = 0.187492370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687492370605469 × 2 - 1) × π
    0.374984741210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.17804931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187492370605469 × 2 - 1) × π
    0.625015258789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.96354334533712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17804931} λ = 1.17804931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96354334533712))-π/2
    2×atan(7.12452705237214)-π/2
    2×1.43134713278274-π/2
    2.86269426556547-1.57079632675     		φ = 1.29189794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17804931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.497254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29189794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.020300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90111 KachelY 24575 1.17804931 1.29189794 67.497254 74.020300
    Oben rechts KachelX + 1 90112 KachelY 24575 1.17809725 1.29189794 67.500000 74.020300
    Unten links KachelX 90111 KachelY + 1 24576 1.17804931 1.29188474 67.497254 74.019543
    Unten rechts KachelX + 1 90112 KachelY + 1 24576 1.17809725 1.29188474 67.500000 74.019543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29189794-1.29188474) × R
    1.31999999999355e-05 × 6371000     		dl = 84.097199999589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29189794-1.29188474) × R
    1.31999999999355e-05 × 6371000     		dr = 84.097199999589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17804931-1.17809725) × cos(1.29189794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275296769730658 × 6371000     		do = 84.0827196145405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17804931-1.17809725) × cos(1.29188474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275309459649329 × 6371000     		du = 84.0865954423414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29189794)-sin(1.29188474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275296769730658-0.275309459649329)×R²
    abs(1.17809725-1.17804931)×1.26899186719265e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26899186719265e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26899186719265e-05×40589641000000     		ar = 7071.28426111824m²