Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90120 / 40968
↖ ↑ ↗
← N 55.764213°
E 67.521973°		 ← 171.83 m → N 55.764213°
E 67.524719°		 →
↑
171.83 m
↓
↑
171.83 m
↓
N 55.762668°
E 67.521973°		 ← 171.84 m →
29 526 m²		 N 55.762668°
E 67.524719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687564849853516 y=0.312564849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687564849853516 × 217)
    floor (0.687564849853516 × 131072)
    floor (90120.5)     		tx = 90120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312564849853516 × 217)
    floor (0.312564849853516 × 131072)
    floor (40968.5)     		ty = 40968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90120 / 40968 ti = "17/90120/40968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90120/40968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90120 ÷ 217
    90120 ÷ 131072     		x = 0.68756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40968 ÷ 217
    40968 ÷ 131072     		y = 0.31256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68756103515625 × 2 - 1) × π
    0.3751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17848074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31256103515625 × 2 - 1) × π
    0.3748779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17771374986554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17848074} λ = 1.17848074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17771374986554))-π/2
    2×atan(3.24694238816158)-π/2
    2×1.27203272564317-π/2
    2.54406545128634-1.57079632675     		φ = 0.97326912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17848074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.521973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97326912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.764213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90120 KachelY 40968 1.17848074 0.97326912 67.521973 55.764213
    Oben rechts KachelX + 1 90121 KachelY 40968 1.17852868 0.97326912 67.524719 55.764213
    Unten links KachelX 90120 KachelY + 1 40969 1.17848074 0.97324215 67.521973 55.762668
    Unten rechts KachelX + 1 90121 KachelY + 1 40969 1.17852868 0.97324215 67.524719 55.762668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97326912-0.97324215) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dl = 171.825869999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97326912-0.97324215) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dr = 171.825869999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17848074-1.17852868) × cos(0.97326912) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.562599864863911 × 6371000     		do = 171.832480050643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17848074-1.17852868) × cos(0.97324215) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.56262216154944 × 6371000     		du = 171.83929003232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97326912)-sin(0.97324215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562599864863911-0.56262216154944)×R²
    abs(1.17852868-1.17848074)×2.22966855288886e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.22966855288886e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.22966855288886e-05×40589641000000     		ar = 29525.8504461213m²