Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90128 / 8208
↖ ↑ ↗
← N 82.670681°
E 67.543946°		 ← 38.96 m → N 82.670681°
E 67.546692°		 →
↑
38.99 m
↓
↑
38.99 m
↓
N 82.670330°
E 67.543946°		 ← 38.96 m →
1 519 m²		 N 82.670330°
E 67.546692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687625885009766 y=0.0626258850097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687625885009766 × 217)
    floor (0.687625885009766 × 131072)
    floor (90128.5)     		tx = 90128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0626258850097656 × 217)
    floor (0.0626258850097656 × 131072)
    floor (8208.5)     		ty = 8208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90128 / 8208 ti = "17/90128/8208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90128/8208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90128 ÷ 217
    90128 ÷ 131072     		x = 0.6876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8208 ÷ 217
    8208 ÷ 131072     		y = 0.0626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6876220703125 × 2 - 1) × π
    0.375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17886424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0626220703125 × 2 - 1) × π
    0.874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.74812658141858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17886424} λ = 1.17886424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74812658141858))-π/2
    2×atan(15.6133541202705)-π/2
    2×1.50683595178083-π/2
    3.01367190356167-1.57079632675     		φ = 1.44287558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17886424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.543946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44287558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.670681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90128 KachelY 8208 1.17886424 1.44287558 67.543946 82.670681
    Oben rechts KachelX + 1 90129 KachelY 8208 1.17891217 1.44287558 67.546692 82.670681
    Unten links KachelX 90128 KachelY + 1 8209 1.17886424 1.44286946 67.543946 82.670330
    Unten rechts KachelX + 1 90129 KachelY + 1 8209 1.17891217 1.44286946 67.546692 82.670330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44287558-1.44286946) × R
    6.11999999988733e-06 × 6371000     		dl = 38.9905199992822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44287558-1.44286946) × R
    6.11999999988733e-06 × 6371000     		dr = 38.9905199992822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17886424-1.17891217) × cos(1.44287558) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.127572155636544 × 6371000     		do = 38.9556924166749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17886424-1.17891217) × cos(1.44286946) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.127578225629424 × 6371000     		du = 38.9575459620227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44287558)-sin(1.44286946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127572155636544-0.127578225629424)×R²
    abs(1.17891217-1.17886424)×6.06999287980359e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.06999287980359e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.06999287980359e-06×40589641000000     		ar = 1518.9388395491m²