Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90143 / 24607
↖ ↑ ↗
← N 73.996086°
E 67.585144°		 ← 84.21 m → N 73.996086°
E 67.587891°		 →
↑
84.22 m
↓
↑
84.22 m
↓
N 73.995328°
E 67.585144°		 ← 84.21 m →
7 092 m²		 N 73.995328°
E 67.587891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687740325927734 y=0.187740325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687740325927734 × 217)
    floor (0.687740325927734 × 131072)
    floor (90143.5)     		tx = 90143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187740325927734 × 217)
    floor (0.187740325927734 × 131072)
    floor (24607.5)     		ty = 24607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90143 / 24607 ti = "17/90143/24607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90143/24607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90143 ÷ 217
    90143 ÷ 131072     		x = 0.687736511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24607 ÷ 217
    24607 ÷ 131072     		y = 0.187736511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687736511230469 × 2 - 1) × π
    0.375473022460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.17958329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187736511230469 × 2 - 1) × π
    0.624526977539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.96200936454928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17958329} λ = 1.17958329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96200936454928))-π/2
    2×atan(7.11360654281868)-π/2
    2×1.43113582704155-π/2
    2.8622716540831-1.57079632675     		φ = 1.29147533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17958329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.585144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29147533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.996086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90143 KachelY 24607 1.17958329 1.29147533 67.585144 73.996086
    Oben rechts KachelX + 1 90144 KachelY 24607 1.17963123 1.29147533 67.587891 73.996086
    Unten links KachelX 90143 KachelY + 1 24608 1.17958329 1.29146211 67.585144 73.995328
    Unten rechts KachelX + 1 90144 KachelY + 1 24608 1.17963123 1.29146211 67.587891 73.995328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29147533-1.29146211) × R
    1.32199999998139e-05 × 6371000     		dl = 84.2246199988146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29147533-1.29146211) × R
    1.32199999998139e-05 × 6371000     		dr = 84.2246199988146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17958329-1.17963123) × cos(1.29147533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275703025185121 × 6371000     		do = 84.2068004873489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17958329-1.17963123) × cos(1.29146211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275715732791679 × 6371000     		du = 84.2106817174855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29147533)-sin(1.29146211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275703025185121-0.275715732791679)×R²
    abs(1.17963123-1.17958329)×1.27076065578602e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27076065578602e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27076065578602e-05×40589641000000     		ar = 7092.44921998815m²