Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90143 / 24609
↖ ↑ ↗
← N 73.994571°
E 67.585144°		 ← 84.21 m → N 73.994571°
E 67.587891°		 →
↑
84.16 m
↓
↑
84.16 m
↓
N 73.993814°
E 67.585144°		 ← 84.22 m →
7 088 m²		 N 73.993814°
E 67.587891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687740325927734 y=0.187755584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687740325927734 × 217)
    floor (0.687740325927734 × 131072)
    floor (90143.5)     		tx = 90143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187755584716797 × 217)
    floor (0.187755584716797 × 131072)
    floor (24609.5)     		ty = 24609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90143 / 24609 ti = "17/90143/24609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90143/24609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90143 ÷ 217
    90143 ÷ 131072     		x = 0.687736511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24609 ÷ 217
    24609 ÷ 131072     		y = 0.187751770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687736511230469 × 2 - 1) × π
    0.375473022460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.17958329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187751770019531 × 2 - 1) × π
    0.624496459960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.96191349075004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17958329} λ = 1.17958329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96191349075004))-π/2
    2×atan(7.11292456702545)-π/2
    2×1.43112261008417-π/2
    2.86224522016834-1.57079632675     		φ = 1.29144889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17958329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.585144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29144889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.994571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90143 KachelY 24609 1.17958329 1.29144889 67.585144 73.994571
    Oben rechts KachelX + 1 90144 KachelY 24609 1.17963123 1.29144889 67.587891 73.994571
    Unten links KachelX 90143 KachelY + 1 24610 1.17958329 1.29143568 67.585144 73.993814
    Unten rechts KachelX + 1 90144 KachelY + 1 24610 1.17963123 1.29143568 67.587891 73.993814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29144889-1.29143568) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dl = 84.1609100006164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29144889-1.29143568) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dr = 84.1609100006164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17958329-1.17963123) × cos(1.29144889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.27572844035005 × 6371000     		do = 84.2145629329047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17958329-1.17963123) × cos(1.29143568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275741138247914 × 6371000     		du = 84.2184411977562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29144889)-sin(1.29143568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27572844035005-0.275741138247914)×R²
    abs(1.17963123-1.17958329)×1.26978978637893e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26978978637893e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26978978637893e-05×40589641000000     		ar = 7087.73745095127m²