Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90178 / 24642
↖ ↑ ↗
← N 73.969561°
E 67.681274°		 ← 84.34 m → N 73.969561°
E 67.684021°		 →
↑
84.35 m
↓
↑
84.35 m
↓
N 73.968802°
E 67.681274°		 ← 84.35 m →
7 115 m²		 N 73.968802°
E 67.684021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688007354736328 y=0.188007354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688007354736328 × 217)
    floor (0.688007354736328 × 131072)
    floor (90178.5)     		tx = 90178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188007354736328 × 217)
    floor (0.188007354736328 × 131072)
    floor (24642.5)     		ty = 24642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90178 / 24642 ti = "17/90178/24642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90178/24642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90178 ÷ 217
    90178 ÷ 131072     		x = 0.688003540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24642 ÷ 217
    24642 ÷ 131072     		y = 0.188003540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688003540039062 × 2 - 1) × π
    0.376007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18126108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188003540039062 × 2 - 1) × π
    0.623992919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96033157306258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18126108} λ = 1.18126108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96033157306258))-π/2
    2×atan(7.10168140106947)-π/2
    2×1.430904354348-π/2
    2.861808708696-1.57079632675     		φ = 1.29101238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18126108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.681274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29101238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.969561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90178 KachelY 24642 1.18126108 1.29101238 67.681274 73.969561
    Oben rechts KachelX + 1 90179 KachelY 24642 1.18130902 1.29101238 67.684021 73.969561
    Unten links KachelX 90178 KachelY + 1 24643 1.18126108 1.29099914 67.681274 73.968802
    Unten rechts KachelX + 1 90179 KachelY + 1 24643 1.18130902 1.29099914 67.684021 73.968802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29101238-1.29099914) × R
    1.32399999999144e-05 × 6371000     		dl = 84.3520399994548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29101238-1.29099914) × R
    1.32399999999144e-05 × 6371000     		dr = 84.3520399994548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18126108-1.18130902) × cos(1.29101238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276148003007999 × 6371000     		do = 84.3427081681851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18126108-1.18130902) × cos(1.29099914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276160728148029 × 6371000     		du = 84.3465947534951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29101238)-sin(1.29099914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276148003007999-0.276160728148029)×R²
    abs(1.18130902-1.18126108)×1.27251400293682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27251400293682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27251400293682e-05×40589641000000     		ar = 7114.6434138628m²