Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90239 / 24705
↖ ↑ ↗
← N 73.921708°
E 67.848816°		 ← 84.59 m → N 73.921708°
E 67.851563°		 →
↑
84.61 m
↓
↑
84.61 m
↓
N 73.920947°
E 67.848816°		 ← 84.59 m →
7 157 m²		 N 73.920947°
E 67.851563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688472747802734 y=0.188488006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688472747802734 × 217)
    floor (0.688472747802734 × 131072)
    floor (90239.5)     		tx = 90239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188488006591797 × 217)
    floor (0.188488006591797 × 131072)
    floor (24705.5)     		ty = 24705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90239 / 24705 ti = "17/90239/24705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90239/24705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90239 ÷ 217
    90239 ÷ 131072     		x = 0.688468933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24705 ÷ 217
    24705 ÷ 131072     		y = 0.188484191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688468933105469 × 2 - 1) × π
    0.376937866210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.18418523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188484191894531 × 2 - 1) × π
    0.623031616210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.95731154838651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18418523} λ = 1.18418523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95731154838651))-π/2
    2×atan(7.08026650103627)-π/2
    2×1.43048676175038-π/2
    2.86097352350076-1.57079632675     		φ = 1.29017720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18418523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.848816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29017720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.921708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90239 KachelY 24705 1.18418523 1.29017720 67.848816 73.921708
    Oben rechts KachelX + 1 90240 KachelY 24705 1.18423317 1.29017720 67.851563 73.921708
    Unten links KachelX 90239 KachelY + 1 24706 1.18418523 1.29016392 67.848816 73.920947
    Unten rechts KachelX + 1 90240 KachelY + 1 24706 1.18423317 1.29016392 67.851563 73.920947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29017720-1.29016392) × R
    1.32800000001154e-05 × 6371000     		dl = 84.6068800007353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29017720-1.29016392) × R
    1.32800000001154e-05 × 6371000     		dr = 84.6068800007353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18418523-1.18423317) × cos(1.29017720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276950610733296 × 6371000     		do = 84.5878452266133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18418523-1.18423317) × cos(1.29016392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276963371250452 × 6371000     		du = 84.5917426170085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29017720)-sin(1.29016392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276950610733296-0.276963371250452)×R²
    abs(1.18423317-1.18418523)×1.27605171560963e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27605171560963e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27605171560963e-05×40589641000000     		ar = 7156.87854379528m²