Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9216 / 5120
↖ ↑ ↗
← N 55.776573°
E 22.500000°		 ← 1 374.15 m → N 55.776573°
E 22.521973°		 →
↑
1 374.35 m
↓
↑
1 374.35 m
↓
N 55.764213°
E 22.500000°		 ← 1 374.59 m →
1 888 869 m²		 N 55.764213°
E 22.521973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562530517578125 y=0.312530517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562530517578125 × 214)
    floor (0.562530517578125 × 16384)
    floor (9216.5)     		tx = 9216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312530517578125 × 214)
    floor (0.312530517578125 × 16384)
    floor (5120.5)     		ty = 5120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9216 / 5120 ti = "14/9216/5120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9216/5120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9216 ÷ 214
    9216 ÷ 16384     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5120 ÷ 214
    5120 ÷ 16384     		y = 0.3125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3125 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1780972450625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1780972450625))-π/2
    2×atan(3.24818781376435)-π/2
    2×1.27214058571537-π/2
    2.54428117143074-1.57079632675     		φ = 0.97348484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97348484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.776573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9216 KachelY 5120 0.39269908 0.97348484 22.500000 55.776573
    Oben rechts KachelX + 1 9217 KachelY 5120 0.39308258 0.97348484 22.521973 55.776573
    Unten links KachelX 9216 KachelY + 1 5121 0.39269908 0.97326912 22.500000 55.764213
    Unten rechts KachelX + 1 9217 KachelY + 1 5121 0.39308258 0.97326912 22.521973 55.764213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97348484-0.97326912) × R
    0.00021572000000003 × 6371000     		dl = 1374.35212000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97348484-0.97326912) × R
    0.00021572000000003 × 6371000     		dr = 1374.35212000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39308258) × cos(0.97348484) × R
    0.000383500000000037 × 0.562421509722991 × 6371000     		do = 1374.15238264386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39308258) × cos(0.97326912) × R
    0.000383500000000037 × 0.562599864863911 × 6371000     		du = 1374.58815392503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97348484)-sin(0.97326912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562421509722991-0.562599864863911)×R²
    abs(0.39308258-0.39269908)×0.000178355140919795×R²
    0.000383500000000037×0.000178355140919795×6371000²
    0.000383500000000037×0.000178355140919795×40589641000000     		ar = 1888868.69920659m²