Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9224 / 5144
↖ ↑ ↗
← N 55.478854°
E 22.675781°		 ← 1 384.63 m → N 55.478854°
E 22.697754°		 →
↑
1 384.86 m
↓
↑
1 384.86 m
↓
N 55.466399°
E 22.675781°		 ← 1 385.07 m →
1 917 829 m²		 N 55.466399°
E 22.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563018798828125 y=0.313995361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563018798828125 × 214)
    floor (0.563018798828125 × 16384)
    floor (9224.5)     		tx = 9224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313995361328125 × 214)
    floor (0.313995361328125 × 16384)
    floor (5144.5)     		ty = 5144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9224 / 5144 ti = "14/9224/5144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9224/5144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9224 ÷ 214
    9224 ÷ 16384     		x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5144 ÷ 214
    5144 ÷ 16384     		y = 0.31396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31396484375 × 2 - 1) × π
    0.3720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16889336033545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16889336033545))-π/2
    2×atan(3.21842902585706)-π/2
    2×1.26954249247109-π/2
    2.53908498494219-1.57079632675     		φ = 0.96828866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96828866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.478854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9224 KachelY 5144 0.39576704 0.96828866 22.675781 55.478854
    Oben rechts KachelX + 1 9225 KachelY 5144 0.39615054 0.96828866 22.697754 55.478854
    Unten links KachelX 9224 KachelY + 1 5145 0.39576704 0.96807129 22.675781 55.466399
    Unten rechts KachelX + 1 9225 KachelY + 1 5145 0.39615054 0.96807129 22.697754 55.466399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96828866-0.96807129) × R
    0.000217369999999995 × 6371000     		dl = 1384.86426999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96828866-0.96807129) × R
    0.000217369999999995 × 6371000     		dr = 1384.86426999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39615054) × cos(0.96828866) × R
    0.000383499999999981 × 0.566710362596155 × 6371000     		do = 1384.63124465832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39615054) × cos(0.96807129) × R
    0.000383499999999981 × 0.56688944406332 × 6371000     		du = 1385.06879055679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96828866)-sin(0.96807129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566710362596155-0.56688944406332)×R²
    abs(0.39615054-0.39576704)×0.000179081467164166×R²
    0.000383499999999981×0.000179081467164166×6371000²
    0.000383499999999981×0.000179081467164166×40589641000000     		ar = 1917829.31624556m²