Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9232 / 3088
↖ ↑ ↗
← N 73.922469°
E 22.851562°		 ← 676.64 m → N 73.922469°
E 22.873535°		 →
↑
676.73 m
↓
↑
676.73 m
↓
N 73.916383°
E 22.851562°		 ← 676.89 m →
457 983 m²		 N 73.916383°
E 22.873535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563507080078125 y=0.188507080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563507080078125 × 214)
    floor (0.563507080078125 × 16384)
    floor (9232.5)     		tx = 9232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188507080078125 × 214)
    floor (0.188507080078125 × 16384)
    floor (3088.5)     		ty = 3088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9232 / 3088 ti = "14/9232/3088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9232/3088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9232 ÷ 214
    9232 ÷ 16384     		x = 0.5634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3088 ÷ 214
    3088 ÷ 16384     		y = 0.1884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1884765625 × 2 - 1) × π
    0.623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.95735948528613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39883500} λ = 0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95735948528613))-π/2
    2×atan(7.08060591519598)-π/2
    2×1.43049339967439-π/2
    2.86098679934878-1.57079632675     		φ = 1.29019047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29019047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.922469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9232 KachelY 3088 0.39883500 1.29019047 22.851562 73.922469
    Oben rechts KachelX + 1 9233 KachelY 3088 0.39921850 1.29019047 22.873535 73.922469
    Unten links KachelX 9232 KachelY + 1 3089 0.39883500 1.29008425 22.851562 73.916383
    Unten rechts KachelX + 1 9233 KachelY + 1 3089 0.39921850 1.29008425 22.873535 73.916383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29019047-1.29008425) × R
    0.000106219999999935 × 6371000     		dl = 676.727619999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29019047-1.29008425) × R
    0.000106219999999935 × 6371000     		dr = 676.727619999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39883500-0.39921850) × cos(1.29019047) × R
    0.000383499999999981 × 0.276937859776176 × 6371000     		do = 676.636318627111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39883500-0.39921850) × cos(1.29008425) × R
    0.000383499999999981 × 0.277039923718983 × 6371000     		du = 676.885689264199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29019047)-sin(1.29008425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276937859776176-0.277039923718983)×R²
    abs(0.39921850-0.39883500)×0.000102063942807706×R²
    0.000383499999999981×0.000102063942807706×6371000²
    0.000383499999999981×0.000102063942807706×40589641000000     		ar = 457982.863939954m²