Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 928 / 800
↖ ↑ ↗
← N 36.597889°
W 16.875000°		 ← 15.692 km → N 36.597889°
W 16.699219°		 →
↑
15.707 km
↓
↑
15.707 km
↓
N 36.456636°
W 16.875000°		 ← 15.721 km →
246.698 km²		 N 36.456636°
W 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453369140625 y=0.390869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453369140625 × 211)
    floor (0.453369140625 × 2048)
    floor (928.5)     		tx = 928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.390869140625 × 211)
    floor (0.390869140625 × 2048)
    floor (800.5)     		ty = 800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 928 / 800 ti = "11/928/800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/928/800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 928 ÷ 211
    928 ÷ 2048     		x = 0.453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 800 ÷ 211
    800 ÷ 2048     		y = 0.390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453125 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.390625 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Φ = 0.687223392953125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29452431} λ = -0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.687223392953125))-π/2
    2×atan(1.98818744685741)-π/2
    2×1.10477499571553-π/2
    2.20954999143106-1.57079632675     		φ = 0.63875366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63875366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.597889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 928 KachelY 800 -0.29452431 0.63875366 -16.875000 36.597889
    Oben rechts KachelX + 1 929 KachelY 800 -0.29145635 0.63875366 -16.699219 36.597889
    Unten links KachelX 928 KachelY + 1 801 -0.29452431 0.63628833 -16.875000 36.456636
    Unten rechts KachelX + 1 929 KachelY + 1 801 -0.29145635 0.63628833 -16.699219 36.456636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63875366-0.63628833) × R
    0.00246533000000004 × 6371000     		dl = 15706.6174300003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63875366-0.63628833) × R
    0.00246533000000004 × 6371000     		dr = 15706.6174300003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29452431--0.29145635) × cos(0.63875366) × R
    0.00306796000000004 × 0.802839443284969 × 6371000     		do = 15692.2782102375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29452431--0.29145635) × cos(0.63628833) × R
    0.00306796000000004 × 0.804306820171228 × 6371000     		du = 15720.959519472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63875366)-sin(0.63628833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802839443284969-0.804306820171228)×R²
    abs(-0.29145635--0.29452431)×0.00146737688625931×R²
    0.00306796000000004×0.00146737688625931×6371000²
    0.00306796000000004×0.00146737688625931×40589641000000     		ar = 246697978.578596m²