Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 960 / 575
↖ ↑ ↗
← N 61.689872°
W 11.250000°		 ← 9 269.56 m → N 61.689872°
W 11.074219°		 →
↑
9 282.10 m
↓
↑
9 282.10 m
↓
N 61.606397°
W 11.250000°		 ← 9 294.62 m →
86 157 292 m²		 N 61.606397°
W 11.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468994140625 y=0.281005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468994140625 × 211)
    floor (0.468994140625 × 2048)
    floor (960.5)     		tx = 960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281005859375 × 211)
    floor (0.281005859375 × 2048)
    floor (575.5)     		ty = 575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 960 / 575 ti = "11/960/575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/960/575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 960 ÷ 211
    960 ÷ 2048     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 575 ÷ 211
    575 ÷ 2048     		y = 0.28076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28076171875 × 2 - 1) × π
    0.4384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.37751474748193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37751474748193))-π/2
    2×atan(3.96503525850343)-π/2
    2×1.32374385590439-π/2
    2.64748771180877-1.57079632675     		φ = 1.07669139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07669139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.689872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 960 KachelY 575 -0.19634954 1.07669139 -11.250000 61.689872
    Oben rechts KachelX + 1 961 KachelY 575 -0.19328158 1.07669139 -11.074219 61.689872
    Unten links KachelX 960 KachelY + 1 576 -0.19634954 1.07523446 -11.250000 61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 961 KachelY + 1 576 -0.19328158 1.07523446 -11.074219 61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07669139-1.07523446) × R
    0.00145693000000002 × 6371000     		dl = 9282.10103000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07669139-1.07523446) × R
    0.00145693000000002 × 6371000     		dr = 9282.10103000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19328158) × cos(1.07669139) × R
    0.00306795999999998 × 0.474243833479326 × 6371000     		do = 9269.55724048236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19328158) × cos(1.07523446) × R
    0.00306795999999998 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 9294.61846144174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07669139)-sin(1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474243833479326-0.475526001461152)×R²
    abs(-0.19328158--0.19634954)×0.0012821679818259×R²
    0.00306795999999998×0.0012821679818259×6371000²
    0.00306795999999998×0.0012821679818259×40589641000000     		ar = 86157292.4420687m²