Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 960 / 576
↖ ↑ ↗
← N 61.606397°
W 11.250000°		 ← 9 294.62 m → N 61.606397°
W 11.074219°		 →
↑
9 307.20 m
↓
↑
9 307.20 m
↓
N 61.522695°
W 11.250000°		 ← 9 319.73 m →
86 623 762 m²		 N 61.522695°
W 11.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468994140625 y=0.281494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468994140625 × 211)
    floor (0.468994140625 × 2048)
    floor (960.5)     		tx = 960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281494140625 × 211)
    floor (0.281494140625 × 2048)
    floor (576.5)     		ty = 576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 960 / 576 ti = "11/960/576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/960/576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 960 ÷ 211
    960 ÷ 2048     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 576 ÷ 211
    576 ÷ 2048     		y = 0.28125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28125 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37444678590625))-π/2
    2×atan(3.95288932384138)-π/2
    2×1.3230153918728-π/2
    2.64603078374559-1.57079632675     		φ = 1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 960 KachelY 576 -0.19634954 1.07523446 -11.250000 61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 961 KachelY 576 -0.19328158 1.07523446 -11.074219 61.606397
    Unten links KachelX 960 KachelY + 1 577 -0.19634954 1.07377359 -11.250000 61.522695
    Unten rechts KachelX + 1 961 KachelY + 1 577 -0.19328158 1.07377359 -11.074219 61.522695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07523446-1.07377359) × R
    0.00146086999999984 × 6371000     		dl = 9307.20276999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07523446-1.07377359) × R
    0.00146086999999984 × 6371000     		dr = 9307.20276999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19328158) × cos(1.07523446) × R
    0.00306795999999998 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 9294.61846144174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19328158) × cos(1.07377359) × R
    0.00306795999999998 × 0.476810623357779 × 6371000     		du = 9319.72764655395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07523446)-sin(1.07377359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.476810623357779)×R²
    abs(-0.19328158--0.19634954)×0.00128462189662637×R²
    0.00306795999999998×0.00128462189662637×6371000²
    0.00306795999999998×0.00128462189662637×40589641000000     		ar = 86623762.2346478m²