Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 960 / 704
↖ ↑ ↗
← N 48.922499°
W 11.250000°		 ← 12.843 km → N 48.922499°
W 11.074219°		 →
↑
12.858 km
↓
↑
12.858 km
↓
N 48.806863°
W 11.250000°		 ← 12.873 km →
165.331 km²		 N 48.806863°
W 11.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468994140625 y=0.343994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468994140625 × 211)
    floor (0.468994140625 × 2048)
    floor (960.5)     		tx = 960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343994140625 × 211)
    floor (0.343994140625 × 2048)
    floor (704.5)     		ty = 704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 960 / 704 ti = "11/960/704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/960/704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 960 ÷ 211
    960 ÷ 2048     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 704 ÷ 211
    704 ÷ 2048     		y = 0.34375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34375 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Φ = 0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98174770421875))-π/2
    2×atan(2.66911699496664)-π/2
    2×1.21232750861677-π/2
    2.42465501723354-1.57079632675     		φ = 0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 960 KachelY 704 -0.19634954 0.85385869 -11.250000 48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 961 KachelY 704 -0.19328158 0.85385869 -11.074219 48.922499
    Unten links KachelX 960 KachelY + 1 705 -0.19634954 0.85184046 -11.250000 48.806863
    Unten rechts KachelX + 1 961 KachelY + 1 705 -0.19328158 0.85184046 -11.074219 48.806863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85385869-0.85184046) × R
    0.00201823000000001 × 6371000     		dl = 12858.1433300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85385869-0.85184046) × R
    0.00201823000000001 × 6371000     		dr = 12858.1433300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19328158) × cos(0.85385869) × R
    0.00306795999999998 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 12843.2540000508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19328158) × cos(0.85184046) × R
    0.00306795999999998 × 0.658599327353307 × 6371000     		du = 12872.9647756417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85385869)-sin(0.85184046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.658599327353307)×R²
    abs(-0.19328158--0.19634954)×0.00152004586047905×R²
    0.00306795999999998×0.00152004586047905×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152004586047905×40589641000000     		ar = 165331469.581483m²