Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 964 / 708
↖ ↑ ↗
← N 48.458352°
W 10.546875°		 ← 12.962 km → N 48.458352°
W 10.371094°		 →
↑
12.977 km
↓
↑
12.977 km
↓
N 48.341646°
W 10.546875°		 ← 12.992 km →
168.405 km²		 N 48.341646°
W 10.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470947265625 y=0.345947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470947265625 × 211)
    floor (0.470947265625 × 2048)
    floor (964.5)     		tx = 964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345947265625 × 211)
    floor (0.345947265625 × 2048)
    floor (708.5)     		ty = 708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 964 / 708 ti = "11/964/708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/964/708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 964 ÷ 211
    964 ÷ 2048     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 708 ÷ 211
    708 ÷ 2048     		y = 0.345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345703125 × 2 - 1) × π
    0.30859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.969475857916016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969475857916016))-π/2
    2×atan(2.63656216393904)-π/2
    2×1.20827705861076-π/2
    2.41655411722153-1.57079632675     		φ = 0.84575779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84575779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.458352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 964 KachelY 708 -0.18407769 0.84575779 -10.546875 48.458352
    Oben rechts KachelX + 1 965 KachelY 708 -0.18100973 0.84575779 -10.371094 48.458352
    Unten links KachelX 964 KachelY + 1 709 -0.18407769 0.84372089 -10.546875 48.341646
    Unten rechts KachelX + 1 965 KachelY + 1 709 -0.18100973 0.84372089 -10.371094 48.341646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84575779-0.84372089) × R
    0.00203690000000001 × 6371000     		dl = 12977.0899000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84575779-0.84372089) × R
    0.00203690000000001 × 6371000     		dr = 12977.0899000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18100973) × cos(0.84575779) × R
    0.00306795999999998 × 0.663164286939641 × 6371000     		do = 12962.1913531927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18100973) × cos(0.84372089) × R
    0.00306795999999998 × 0.664687476582563 × 6371000     		du = 12991.9635770708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84575779)-sin(0.84372089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663164286939641-0.664687476582563)×R²
    abs(-0.18100973--0.18407769)×0.00152318964292208×R²
    0.00306795999999998×0.00152318964292208×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152318964292208×40589641000000     		ar = 168404759.129691m²