Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9728 / 4608
↖ ↑ ↗
← N 61.606397°
E 33.750000°		 ← 1 161.84 m → N 61.606397°
E 33.771973°		 →
↑
1 162.07 m
↓
↑
1 162.07 m
↓
N 61.595946°
E 33.750000°		 ← 1 162.23 m →
1 350 371 m²		 N 61.595946°
E 33.771973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593780517578125 y=0.281280517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593780517578125 × 214)
    floor (0.593780517578125 × 16384)
    floor (9728.5)     		tx = 9728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281280517578125 × 214)
    floor (0.281280517578125 × 16384)
    floor (4608.5)     		ty = 4608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9728 / 4608 ti = "14/9728/4608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9728/4608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9728 ÷ 214
    9728 ÷ 16384     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4608 ÷ 214
    4608 ÷ 16384     		y = 0.28125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28125 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37444678590625))-π/2
    2×atan(3.95288932384138)-π/2
    2×1.3230153918728-π/2
    2.64603078374559-1.57079632675     		φ = 1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9728 KachelY 4608 0.58904862 1.07523446 33.750000 61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 9729 KachelY 4608 0.58943212 1.07523446 33.771973 61.606397
    Unten links KachelX 9728 KachelY + 1 4609 0.58904862 1.07505206 33.750000 61.595946
    Unten rechts KachelX + 1 9729 KachelY + 1 4609 0.58943212 1.07505206 33.771973 61.595946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07523446-1.07505206) × R
    0.000182399999999916 × 6371000     		dl = 1162.07039999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07523446-1.07505206) × R
    0.000182399999999916 × 6371000     		dr = 1162.07039999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.58943212) × cos(1.07523446) × R
    0.000383499999999981 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 1161.84245556094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.58943212) × cos(1.07505206) × R
    0.000383499999999981 × 0.475686451133903 × 6371000     		du = 1162.23447879671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07523446)-sin(1.07505206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.475686451133903)×R²
    abs(0.58943212-0.58904862)×0.000160449672750584×R²
    0.000383499999999981×0.000160449672750584×6371000²
    0.000383499999999981×0.000160449672750584×40589641000000     		ar = 1350370.51011444m²