Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9732 / 6660
↖ ↑ ↗
← N 31.877558°
E 33.837890°		 ← 2 074.78 m → N 31.877558°
E 33.859863°		 →
↑
2 074.97 m
↓
↑
2 074.97 m
↓
N 31.858897°
E 33.837890°		 ← 2 075.20 m →
4 305 544 m²		 N 31.858897°
E 33.859863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594024658203125 y=0.406524658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594024658203125 × 214)
    floor (0.594024658203125 × 16384)
    floor (9732.5)     		tx = 9732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406524658203125 × 214)
    floor (0.406524658203125 × 16384)
    floor (6660.5)     		ty = 6660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9732 / 6660 ti = "14/9732/6660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9732/6660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9732 ÷ 214
    9732 ÷ 16384     		x = 0.593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6660 ÷ 214
    6660 ÷ 16384     		y = 0.406494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593994140625 × 2 - 1) × π
    0.18798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59058260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406494140625 × 2 - 1) × π
    0.18701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.587514641743408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59058260} λ = 0.59058260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587514641743408))-π/2
    2×atan(1.79951042490522)-π/2
    2×1.0635823325756-π/2
    2.1271646651512-1.57079632675     		φ = 0.55636834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59058260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.837890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55636834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.877558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9732 KachelY 6660 0.59058260 0.55636834 33.837890 31.877558
    Oben rechts KachelX + 1 9733 KachelY 6660 0.59096610 0.55636834 33.859863 31.877558
    Unten links KachelX 9732 KachelY + 1 6661 0.59058260 0.55604265 33.837890 31.858897
    Unten rechts KachelX + 1 9733 KachelY + 1 6661 0.59096610 0.55604265 33.859863 31.858897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55636834-0.55604265) × R
    0.000325690000000045 × 6371000     		dl = 2074.97099000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55636834-0.55604265) × R
    0.000325690000000045 × 6371000     		dr = 2074.97099000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59058260-0.59096610) × cos(0.55636834) × R
    0.000383500000000092 × 0.849178607242166 × 6371000     		do = 2074.77983373523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59058260-0.59096610) × cos(0.55604265) × R
    0.000383500000000092 × 0.849350560965995 × 6371000     		du = 2075.19996457165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55636834)-sin(0.55604265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849178607242166-0.849350560965995)×R²
    abs(0.59096610-0.59058260)×0.000171953723829277×R²
    0.000383500000000092×0.000171953723829277×6371000²
    0.000383500000000092×0.000171953723829277×40589641000000     		ar = 4305543.883347m²