Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98568 / 33032
↖ ↑ ↗
← N 66.222600°
E 90.725098°		 ← 123.14 m → N 66.222600°
E 90.727845°		 →
↑
123.15 m
↓
↑
123.15 m
↓
N 66.221493°
E 90.725098°		 ← 123.15 m →
15 166 m²		 N 66.221493°
E 90.727845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752017974853516 y=0.252017974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752017974853516 × 217)
    floor (0.752017974853516 × 131072)
    floor (98568.5)     		tx = 98568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.252017974853516 × 217)
    floor (0.252017974853516 × 131072)
    floor (33032.5)     		ty = 33032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98568 / 33032 ti = "17/98568/33032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98568/33032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98568 ÷ 217
    98568 ÷ 131072     		x = 0.75201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33032 ÷ 217
    33032 ÷ 131072     		y = 0.25201416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75201416015625 × 2 - 1) × π
    0.5040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58345167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25201416015625 × 2 - 1) × π
    0.4959716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.55814098525031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58345167} λ = 1.58345167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55814098525031))-π/2
    2×atan(4.74998274424918)-π/2
    2×1.36329936801759-π/2
    2.72659873603518-1.57079632675     		φ = 1.15580241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58345167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15580241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.222600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98568 KachelY 33032 1.58345167 1.15580241 90.725098 66.222600
    Oben rechts KachelX + 1 98569 KachelY 33032 1.58349961 1.15580241 90.727845 66.222600
    Unten links KachelX 98568 KachelY + 1 33033 1.58345167 1.15578308 90.725098 66.221493
    Unten rechts KachelX + 1 98569 KachelY + 1 33033 1.58349961 1.15578308 90.727845 66.221493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15580241-1.15578308) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dl = 123.151429999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15580241-1.15578308) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dr = 123.151429999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58345167-1.58349961) × cos(1.15580241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403184363537896 × 6371000     		do = 123.14288258991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58345167-1.58349961) × cos(1.15578308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403202052708455 × 6371000     		du = 123.148285317918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15580241)-sin(1.15578308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403184363537896-0.403202052708455)×R²
    abs(1.58349961-1.58345167)×1.76891705594429e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76891705594429e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76891705594429e-05×40589641000000     		ar = 15165.5547625894m²