Heute sandte mir ein Freund einen Link auf diese Tragödie:
Jedesmal, wenn jemand eine dieser mathematischen Schandtaten begeht, stirbt ein niedliches Wesen. Das ist grausam. Da kann ich nicht zusehen. Wir versuchen, einige Vierbeiner zu retten.
1. Katzenkinder:
Ein kleines Kätzchen stirbt, wenn wir aus einem Quotienten zweier Summen einen Summanden kürzen, denn im Allgemeinen ist das Ergebnis nicht gleich:
a + c a ——————— ≠ ——— b + c b
Doch wann ist es gleich? Rechnen wir es aus:
a + c a ——————— = ——— b + c b
Wir multiplizieren über Kreuz aus:
(a + c) * b = (b + c) * a
a*b + b*c = a*b + a*c
Und subtrahieren von beiden Seiten
:a*b
b*c = a*c
Das ist richtig im trivialen Fall
, hilft aber unserem Kätzchen
nichts, denn wer wird schon schreiben:
c=0
a + 0 a ——————— = ——— b + 0 b
Betrachten wir den zweiten Fall. Wegen c≠0 können wir beide Seiten durch c
teilen und erhalten:
a = b
Es gilt also:
a + c a ——————— = ——— a + c a
Doch auch das ist trivial und kommt in der Realität nicht vor. ☹
Also ist der einzige Weg, die Kätzchen zu retten:
Aus Summen wird nicht gekürzt!
2. Welpen:
Vielleicht haben wir mehr Glück bei den Welpen? Ein Welpe stirbt, wenn wir das Quadrat einer Summe gleich der Summe der Quadrate setzen, denn im Allgemeinen sind diese nicht gleich:
(a + b)² ≠ a² + b²
Doch wann sind sie gleich? Rechnen wir es aus:
(a + b)² = a² + b²
Mit der ersten binomischen Formel
ergibt sich:
(a+b)²=a²+2ab+b²
a² + 2ab + b² = a² + b²
Wir subtrahieren auf beiden Seiten a² + b²:
2ab = 0
↕
a=0 ∨ b=0
Nur wenn a=0 oder b=0, dann ist das Quadrat der Summe gleich der Summe der Quadrate. Das hilft den Welpen nicht wirklich, denn folgendes ist zwar richtig:
(x + 0)² = x² + 0²
Das wird aber kaum jemand schreiben. ☹
Zweiter Versuch:
Ein Welpe stirbt, wenn wir die Wurzel aus der Summe zweier Quadrate gleiche der Summe der Wurzeln setzen, denn im Allgemeinen sind diese nicht gleich:
√(a² + b²) ≠ a + b
Doch wann sind sie gleich?
√(a² + b²) = a + b
Wir quadrieren beide Seiten, links verschwindet die Wurzel, und rechts nutzen wir die zweite binomische Formel:
(a² + b²) = a² + 2ab + b²
0 = 2ab
↕
a=0 ∨ b=0
Die gleiche Situation wie oben. Folgendes ist zwar richtig:
√(a² + 0²) = a + 0
Aber auch das kommt in der Realität nicht vor. Mist. ☹
Einziger Weg, die Welpen zu retten:
Keine Wurzeln aus den Summanden unter einer Wurzel!
3. Kaninchen:
Ein Kaninchen stirbt, wenn wir x² aus einem Faktor in das Argument eines Sinus
ziehen, denn das ist im Allgemeinen nicht möglich:
x² * sin(x) ≠ sin(x³)
Doch wann wird aus der Ungleichung eine Gleichung? Zuerst die trivialen Fälle:
x=0:
x² * sin(x ) = 0² * sin(0) = 0 * 0 = 0
sin(x³) = sin(0) = 0
x=1:
x² * sin(x ) = 1² * sin(1) = 1 * sin(1)
sin(x³) = sin(1) sin(1)
x=-1:
x² * sin(x ) =(-1)² * sin(-1) = 1 * sin(-1)
sin(x³) = sin(-1) sin(-1)
Damit retten wir schon einmal drei Kaninchen. Hurra! ☺
Doch wir wollen tausende Kaninchen retten. Suchen wir also die Nullstellen dieser Funktion:
f(x) = x² * sin(x) - sin(x³)
Denn jede Nullstelle rettet ein Kaninchen. Doch wieder Mist: die Nullstellen dieser trigonometrischen Gleichung lassen sich nicht geschlossen darstellen. Wir geben aber nicht auf und zeigen zumindest, dass es solche Nullstellen gibt.
Dazu bestimmen wir die Werte der Funktion an den Stellen:
xk = (k + ½) * π
Für alle k gilt:
xk² = (k + ½)² * π² ≥ ¼ * 9 ≥ 2 sin(xk³) ≥ -1 sin(xk³) ≤ +1
Für gerade k gilt:
sin(xk) = sin(k*π + ½π) = 1 ↓ f(xk) = xk² * sin(xk) - sin(xk³) ≥ 2 * 1 - 1 = 1
Für ungerade k gilt:
sin(xk) = sin(k*π + ½π) = -1 ↓ f(xk) = xk² * sin(xk) - sin(xk³) ≤ -2 * 1 - -1 = -1
Die Funktion wechselt also zwischen benachbarten xk
ihr Vorzeichen, und da sie stetig ist, hat sie dazwischen (mindestens) eine Nullstelle.
An diesen Nullstellen wird aus der Ungleichung eine Gleichung, also rettet jede Nullstelle ein
Kaninchen.
Aber mal ehrlich, hat der Aufwand gelohnt? Doch nicht wirklich.
Es gibt einen einfacheren Weg, die Kaninchen zu retten:
Keine Faktoren aus den Argumenten einer Funktion vor die
Funktion ziehen!