Berechnung von ∫√(1-x²)dx

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Zu berechnen ist:

⟪int_x sqrt(1-x²)dx⟫

Wir bereiten eine Substition vor:

⟪x = sin(u), dx = cos(u) du, u = arcsin(x) ⟫

und substituieren:

⟪int_x sqrt(1-x²) dx = int_u sqrt(1-sin(u)²) cos (u) du = int_u sqrt(cos(u)²) cos(u) du = int_u cos²(u) du ⟫

⟪int_u cos²(u) du = 1/2 int_u (1 + cos(2u)) du = 1/2 ( int_u 1 du + int_u cos(2u) du) = 1/2 ( u + 1/2 sin(2u)) ⟫

Rücksubstitution ergibt:

⟪int_x sqrt(1-x²) dx = 1/2 ( arcsin(x) + 1/2 sin(2arcsin(x))) ∎⟫

Als Beispiel berechnen wir die Fläche eines Halbkreises mit Radius 1:

⟪int_(-1)^(+1) sqrt(1-x²) dx = 1/2 ( arcsin(1) + 1/2 sin(2arcsin(1))) - (1/2) (arcsin(–1) + 1/2 sin(2arcsin(–1))) =⟫

⟪1/2 ( π/2 + 1/2 sin(π)) - 1/2 ( -π/2 + 1/2 sin(-π)) = 1/2 (π/2 - -π/2) = π/2 ∎ ⟫