Berechnung von ∫√(1+x²)dx

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Wir benutzen partielle Integration:

⟪ f(x)=x → f'(x)=1 ⟫ und ⟪ g(x)=sqrt(1+x²) → g'(x)=x/sqrt(1+x²) ⟫

⟪ int_x (f'(x)g(x)) dx = f(x)g(x) - int_x(f(x)g'(x) dx ⟫

⟪ int_x sqrt(1+x²) dx = x sqrt(1+x²) - int_x (x²)/sqrt(1+x²) dx ⟫

Mit dieser Äqivalenz:

⟪ (x²)/sqrt(1+x²) = (1+x²-1)/sqrt(1+x²) = (1+x²)/sqrt(1+x²) - 1/sqrt(1+x²) = sqrt(1+x²) - 1/sqrt(1+x²) ⟫

erhalten wir:

⟪ int_x sqrt(1+x²) dx = x sqrt(1+x²) - int_x sqrt(1+x²) dx + int_x 1/sqrt(1+x²) dx ⟫

Wir bringen einen Term auf die andere Seite und benutzen ⟪ int_x 1/sqrt(1+x²) dx = ln(x+sqrt(1+x²)) ⟫:

⟪ 2 int_x sqrt(1+x²) dx = x sqrt(1+x²) + ln(x+sqrt(1+x²)) ⟫

⟪ int_x sqrt(1+x²) dx = 1/2 (x sqrt(1+x²) + ln(x+sqrt(1+x²))) ⟫