Wir benutzen partielle Integration:
⟪ f(x)=x → f'(x)=1 ⟫ und ⟪ g(x)=sqrt(1+x²) → g'(x)=x/sqrt(1+x²) ⟫
⟪ int_x (f'(x)g(x)) dx = f(x)g(x) - int_x(f(x)g'(x) dx ⟫
⟪ int_x sqrt(1+x²) dx = x sqrt(1+x²) - int_x (x²)/sqrt(1+x²) dx ⟫
Mit dieser Äqivalenz:
⟪ (x²)/sqrt(1+x²) = (1+x²-1)/sqrt(1+x²) = (1+x²)/sqrt(1+x²) - 1/sqrt(1+x²) = sqrt(1+x²) - 1/sqrt(1+x²) ⟫
erhalten wir:
⟪ int_x sqrt(1+x²) dx = x sqrt(1+x²) - int_x sqrt(1+x²) dx + int_x 1/sqrt(1+x²) dx ⟫
Wir ziehen den negativen Term auf die like Seite:
⟪ 2 int_x sqrt(1+x²) dx = x sqrt(1+x²) + int_x 1/sqrt(1+x²) dx ⟫
Mit:
⟪ int_x 1/sqrt(1+x²) dx = ln(x+sqrt(1+x²)) ⟫:
erhalten wir:
⟪ 2 int_x sqrt(1+x²) dx = x sqrt(1+x²) + ln(x+sqrt(1+x²)) ⟫
⟪ int_x sqrt(1+x²) dx = 1/2 (x sqrt(1+x²) + ln(x+sqrt(1+x²))) ∎⟫