Berechnung von ∫√(a²-x²)dx

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Zu berechnen ist:

⟪int_x sqrt(a²-x²)dx = a int_x sqrt(1-(x/a)²)dx⟫

Wir bereiten eine Substition vor:

⟪x = a sin(u), x/a = sin(u), dx = a cos(u) du, u = arcsin(x/a) ⟫

und substituieren:

⟪a int_x sqrt(1-(x/a)²)dx = a int_u sqrt(1-sin(u)²)*a*cos(u) du = a² int_u sqrt(cos(u)²) cos(u) du = a² int_u cos²(u) du ⟫

⟪a int_x sqrt(1-(x/a)²)dx = a² int_u cos²(u) du = a² int_u (1 + cos(2u)) du = (a²)/2 (int_u 1 du + int_u cos(2u) du) = (a²)/2 ( u + 1/2 sin(2u)) ⟫

Rücksubstitution ergibt:

⟪int_x sqrt(a²-x²) dx = (a²)/2 ( arcsin(x/a) + 1/2 sin(2arcsin(x/a))) ∎⟫

Als Beispiel berechnen wir die Fläche eines Halbkreises mit Radius a:

⟪int_(-a)^(+a) sqrt(a²-x²) dx = (a²)/2 ( arcsin(a/a) + 1/2 sin(2arcsin(a/a))) - (1/2) (arcsin(–a/a) + 1/2 sin(2arcsin(–a/a))) =⟫

⟪(a²)/2 ( π/2 + 1/2 sin(π)) - 1/2 ( -π/2 + 1/2 sin(-π)) = (a²)/2 (π/2 - -π/2) = (a²π)/2 ∎ ⟫