Zu berechnen ist:
⟪int_x sqrt(a²-x²)dx = a int_x sqrt(1-(x/a)²)dx⟫
Wir bereiten eine Substition vor:
⟪x = a sin(u), x/a = sin(u), dx = a cos(u) du, u = arcsin(x/a) ⟫
und substituieren:
⟪a int_x sqrt(1-(x/a)²)dx = a int_u sqrt(1-sin(u)²)*a*cos(u) du = a² int_u sqrt(cos(u)²) cos(u) du = a² int_u cos²(u) du ⟫
⟪a int_x sqrt(1-(x/a)²)dx = a² int_u cos²(u) du = a² int_u (1 + cos(2u)) du = (a²)/2 (int_u 1 du + int_u cos(2u) du) = (a²)/2 ( u + 1/2 sin(2u)) ⟫
Rücksubstitution ergibt:
⟪int_x sqrt(a²-x²) dx = (a²)/2 ( arcsin(x/a) + 1/2 sin(2arcsin(x/a))) ∎⟫
Als Beispiel berechnen wir die Fläche eines Halbkreises mit Radius a:
⟪int_(-a)^(+a) sqrt(a²-x²) dx = (a²)/2 ( arcsin(a/a) + 1/2 sin(2arcsin(a/a))) - 1/2 (arcsin(–a/a) + 1/2 sin(2arcsin(–a/a))) =⟫
⟪(a²)/2 ( π/2 + 1/2 sin(π)) - 1/2 ( -π/2 + 1/2 sin(-π)) = (a²)/2 (π/2 - -π/2) = (a²π)/2 ∎ ⟫