Berechnung von ∫√(a²+x²)dx

Geschrieben von am .

Wir benutzen partielle Integration:

⟪ f(x)=x → f'(x)=1 ⟫ und ⟪ g(x)=sqrt(a²+x²) → g'(x)=x/sqrt(a²+x²) ⟫

⟪ int_x (f'(x)g(x)) dx = f(x)g(x) - int_x(f(x)g'(x) dx ⟫

⟪ int_x sqrt(a²+x²) dx = x sqrt(a²+x²) - int_x (x²)/sqrt(a²+x²) dx ⟫

Mit dieser Äqivalenz:

⟪ (x²)/sqrt(a²+x²) = (a²+x²-a²)/sqrt(a²+x²) = (a²+x²)/sqrt(1+x²) - (a²)/sqrt(a²+x²) = sqrt(a²+x²) - (a²)/sqrt(1+x²) ⟫

erhalten wir:

⟪ int_x sqrt(a²+x²) dx = x sqrt(a²+x²) - int_x sqrt(a²+x²) dx + int_x (a²)/sqrt(a²+x²) dx ⟫

Wir bringen einen Term auf die andere Seite und benutzen ⟪ int_x 1/sqrt(a²+x²) dx = ln(x+sqrt(a²+x²)) ⟫:

⟪ 2 int_x sqrt(a²+x²) dx = x sqrt(a²+x²) + a²·ln(x+sqrt(a²+x²)) ⟫

⟪ int_x sqrt(a²+x²) dx = 1/2 (x sqrt(a²+x²) + a²·ln(x+sqrt(a²+x²))) ⟫