Wir benutzen partielle Integration:
⟪ f(x)=x → f'(x)=1 ⟫ und ⟪ g(x)=sqrt(a²+x²) → g'(x)=x/sqrt(a²+x²) ⟫
⟪ int_x (f'(x)g(x)) dx = f(x)g(x) - int_x(f(x)g'(x) dx ⟫
⟪ int_x sqrt(a²+x²) dx = x sqrt(a²+x²) - int_x (x²)/sqrt(a²+x²) dx ⟫
Mit dieser Äqivalenz:
⟪ (x²)/sqrt(a²+x²) = (a²+x²-a²)/sqrt(a²+x²) = (a²+x²)/sqrt(1+x²) - (a²)/sqrt(a²+x²) = sqrt(a²+x²) - (a²)/sqrt(1+x²) ⟫
erhalten wir:
⟪ int_x sqrt(a²+x²) dx = x sqrt(a²+x²) - int_x sqrt(a²+x²) dx + int_x (a²)/sqrt(a²+x²) dx ⟫
Wir ziehen den negativen Term auf die like Seite:
⟪ 2 int_x sqrt(a²+x²) dx = x sqrt(a²+x²) + int_x (a²)/sqrt(a²+x²) dx ⟫
Mit:
⟪ int_x 1/sqrt(a²+x²) dx = ln(x+sqrt(a²+x²)) ⟫:
erhalten wir:
⟪ 2 int_x sqrt(a²+x²) dx = x sqrt(a²+x²) + a²·ln(x+sqrt(a²+x²)) ⟫
⟪ int_x sqrt(a²+x²) dx = 1/2 (x sqrt(a²+x²) + a²·ln(x+sqrt(a²+x²))) ∎⟫