Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind Funktionen der Form:

f(x) = k1·x + k0

Die Summe zweier linearer Funktionen und das Produkt mit einer Konstanten sind wieder lineare Funktionen.

Wir legen die Funktion fest durch zwei Punkt f(a) = A und f(b) = B mit a ≠ b. 

    ^
    |                        -----
  B +                   --*--
    |              -----  ·
 Δy +         --*--       ·
    |    -----  ·         ·
  A +----       ·         ·
----|           ·         ·
    |           ·         ·
----+-----------*---------*------>
                a    Δx   b

Um die Parameter k1 und k0 zu bestimmen, setzen wir ein: 

f(b) = k1·b + k0 = B      (Gleichung 1)
f(a) = k1·a + k0 = A      (Gleichung 2)

Bestimmung von k0:

Subtrahieren wir (Gleichung 1) · a von (Gleichung 2) · b, so erhalten wir:

k1·a·b - k1·b·a + k0 · b - k0 · a = A · b - B · a
                     k0 · (b - a) = (A · b - B · a)
                               k0 = (A · b - B · a) / (b - a)

Wegen a ≠ b ist die Division erlaubt.

Damit haben wir:

f(x) = k1·x + k0 = (B-A)/(b-a) · x + (A·b - B·a) / (b-a)

Wegen f(0) = k1·0 + k0 = k0 ist k0 der y-Wert des Schnittes der Gerade mit der Hochachse.

k0 = f(0)

Bestimmung von k1:

Subtrahieren wir (Gleichung 2) von (Gleichung 1), so erhalten wir:

k1·b - k1·a + k0 - k0 =  B - A
       k1 · ( b - a ) =  B - A
                   k1 = (B - A) / (b - a)
                   k1 = Δy / Δx

Wegen a ≠ b ist die Division erlaubt.

k1 ist die die Steigung der Gerade.

k1 = f'(0)

Zusammenfassung:

f(x) = f'(0) · x + f(0)

Verifikation durch Einsetzen:

f(a) = (B-A)/(b-a) · a + (A·b - B·a) / (b-a)
     =      (B·a - A·a + A·b - B·a ) / (b-a)
     =               ( - A·a + A·b ) / (b-a)
     =                     A · (b-a) / (b-a) = A

f(b) = (B-A)/(b-a) · b + (A·b - B·a) / (b-a)
     =      (B·b - A·b + A·b - B·a ) / (b-a)
     =                  (B·b - B·a ) / (b-a)
     =                     B · (b-a) / (b-a) = B

Symmetrische Darstellung:

Eine linare Funktion lässt sich auch anders darstellen:

f(x) = (b-x) · A/Δx + (x-a) · B/Δx

Die Funktion ist offensichtlich linear, die Korrektheit ergibt sich durch Einsetzen:

f(a) = (b-a) · A/Δx + (a-a) · B/Δx
     =   Δx  · A/Δx +   0   · B/Δx = A
f(b) = (b-b) · A/Δx + (b-a) · B/Δx
     =   0   · A/Δx +   Δx  · B/Δx = B

☺