Gegeben:
n Punkte pi=[xi,yi] mit n≥2
Gesucht:
Die Gerade, die diese Punkte am besten annähert
.
Exakter formuliert: die Parameter s und t
der Geraden f(x)=s·x+t,
für die die Summe der Quadrate der senkrechten Abstände der Punkte von der Gerade minimal ist.
Als Formel: minimiere den Fehler
E= ∑i∈[1..n] (f(xi)-yi)²
Berechnung des Fehlers
E == ∑i∈[1..n] (f(xi)-yi)²= ∑i∈[1..n] (s·xi+t-yi)²= ∑i∈[1..n] (s²·xi² + t² + yi² + 2·s·xi·t - 2·s·xi·yi - 2·t·yi)= ∑s²·xi² + ∑t² + ∑yi² + ∑2·s·xi·t - ∑2·s·xi·yi - ∑2·t·yi= s²·∑xi² + n·t² + ∑yi² + 2·s·t·∑xi - 2·s·∑xi·yi - 2·t·∑yi
Für die Berechung brauchen wir also:
| Beschreibung | Symbol | Berechnung | |
| Anzahl der Punkte | n |
∑1 |
|
| Summe der x | Sx |
∑xi |
|
| Summe der y | Sy |
∑yi |
|
| Summe der Produkte | Sxy |
∑xi·yi |
|
| Summe der x-Quadrate | Sxx |
∑xi² |
|
| Summe der y-Quadrate | Syy |
∑yi² |
Damit läßt sich die Gleichung substituieren zu:
E = s²·Sxx + t²·n + Syy + 2·s·t·Sx - 2·s·Sxy - 2·t·Sy
Um die Extremwerte zu finden, leiten wir die Gleichung einmal nach s und einmal nach t ab:
∂E/∂s = 2·s·Sxx + 2·t·Sx - 2·Sxy∂E/∂t = 2·t·n + 2·s·Sx - 2·Sy
Dabei verschwindet der Wert Syy.
Wir erhalten das lineare Gleichungssystem:
2·s·Sxx + 2·t·Sx = 2·Sxy
2·t·n + 2·s·Sx = 2·Sy
Oder umgeformt:
s · 2·Sxx + t · 2·Sx = 2·Sxy
s · 2·Sx + t · 2·n = 2·Sy
Die Determinante berechnet sich zu
det = n * Sxx - Sx²
Sie ist 0 genau dann, wenn die x-Werte aller Punkte gleich sind.
Die Lösung unseres Gleichungssystems liefert die Koeffizienten der Gerade:
s = (n · Sxy - Sx · Sy ) / det
t = (Sxx · Sy - Sx · Sxy) / det
Heureka!