Mercator oder ∫(1/cosφ)

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Gesucht ist eine geschlossene Form für ⟪ int 1/cosφ dφ ⟫.

Zuerst formen wir um:

⟪ {: ( 1/cosφ , = , 1/2 cosφ frac{2}{cos²φ} ), ( , = , 1/2 cosφ frac{ (1-sinφ) + (1+sinφ) }{ 1-sin²φ } ), ( , = , 1/2 cosφ frac{ (1-sinφ) + (1+sinφ) }{ (1-sinφ) (1+sinφ) } ), ( , = , 1/2 cosφ ( frac{ 1 }{ 1+sinφ } + frac{ 1 }{ 1-sinφ } ) ), ( , = , 1/2 frac{ cosφ }{ 1+sinφ } + 1/2 frac{ cosφ }{ 1-sinφ } ), ( , = , 1/2 frac{ cosφ }{ 1+sinφ } - 1/2 frac{-cosφ }{ 1-sinφ } ) :} ⟫

Unter Verwendung von ⟪ int frac{ f'(t) }{ f(t) } dt = ln f(t) ⟫ integrieren wir:

⟪ {: ( int 1/cosφ dφ , = , int 1/2 frac{ cosφ }{ 1+sinφ } - 1/2 frac{ -cosφ }{ 1-sinφ } dφ ), ( , = , 1/2 int frac{ cosφ }{ 1+sinφ } dφ - 1/2 int frac{ -cosφ }{ 1-sinφ } dφ ), ( , = , 1/2 ( ln (1+sinφ) - ln (1-sinφ) ) quad sf("(1 Si""nus, 2 Lo""garithmen)")) :} ⟫

Unter Verwendung von ⟪ ln f(t) - ln g(t) = ln frac{ f(t) }{ g(t) } ⟫ können wir umformen:

⟪ {: ( int 1/cosφ dφ , = , 1/2 ln frac{ 1+sinφ }{ 1-sinφ } ,), ( , = , 1/2 ln frac{ (1+sinφ) (1+sinφ) }{ (1-sinφ) (1+sinφ) },), ( , = , 1/2 ln frac{ (1+sinφ)² }{ 1-sinφ² },), ( , = , 1/2 ln frac{ (1+sinφ)² }{ cosφ² },), ( , = , ln frac{ 1+sinφ }{ cosφ }, sf("(1 Si""nus, 1 Co""sinus, 1 Lo""garithmus)")), ( , = , ln (frac{ 1 }{ cosφ } + frac{ sinφ }{ cosφ } ) ,), ( , = , ln ( secφ + tanφ ) , sf("(1 Sekans, 1 Ta""ngens, 1 Lo""garithmus)")) :} ⟫