Dieses Theorem aus der Dreiecks-Geometrie wird dem französischen Kaiser Napoléon Bonaparte zugeschrieben und ist nach diesem benannt.
Theorem.
Über die Seiten eines beliebigen Dreieckes A-B-C werde jeweils ein gleichseitiges Dreieck errichtet.
Behauptung: Unabhängig vom Ausgangs-Dreick A-B-C bilden die Mittelpunkte L, M und N der drei Hilfsdreiecke wieder ein gleichseitiges Dreieck.
Interaktive Grafik.
Beweis.
- Durch Rotation von 120° um M wird das Dreieck B-X-C in das Dreieck B'-X'-A überführt:
⟪ bar(ML') = bar(ML) ^^ /_L'ML = 120° ⟫
- Auch durch Rotation von 120° um N wird das Dreieck B-X-C in das Dreieck B'-X'-A überführt:
⟪ bar(NL') = bar(NL) ^^ /_LNL' = 120° ⟫
- Wegen ⟪ bar(ML') = bar(ML) ⟫ und ⟪ bar(NL') = bar(NL) ⟫ halbiert die Linie ⟪bar(MN)⟫ die
Winkel bei M und N:
⟪ /_L'MN = /_NML ⟫
⟪ /_LNM = /_MNL' ⟫
- Daraus folgt für ⟪/_NML⟫ und ⟪/_LNM⟫:
⟪ /_L'MN + /_NML = /_L'ML = 120° ⇒ /_NML = 60° ⟫
⟪ /_LNM + /_MNL' = /_LNL' = 120° ⇒ /_LNM = 60° ⟫
- Damit gilt auch ⟪ /_MLN = 60° ⟫ und das Dreieck A-B-C gleichseitig. ∎