Napoleons Theorem

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Dieses Theorem aus der Dreiecks-Geometrie wird dem französischen Kaiser Napoléon Bonaparte zugeschrieben und ist nach diesem benannt.

Theorem.

Über die Seiten eines beliebigen Dreieckes A-B-C werde jeweils ein gleichseitiges Dreieck errichtet.

Behauptung: Unabhängig vom Ausgangs-Dreick A-B-C bilden die Mittelpunkte L, M und N der drei Hilfsdreiecke wieder ein gleichseitiges Dreieck.

Interaktive Grafik.

Die blauen Punkte A, B und C lassen sich mit der Maus anpacken und verschieben.

Beweis.

  1. Durch Rotation von 120° um M wird das Dreieck B-X-C in das Dreieck B'-X'-A überführt:

    ⟪ bar(ML') = bar(ML) ^^ /_L'ML = 120° ⟫

  2. Auch durch Rotation von 120° um N wird das Dreieck B-X-C in das Dreieck B'-X'-A überführt:

    ⟪ bar(NL') = bar(NL) ^^ /_LNL' = 120° ⟫

  3. Wegen ⟪ bar(ML') = bar(ML) ⟫ und ⟪ bar(NL') = bar(NL) ⟫ halbiert die Linie ⟪bar(MN)⟫ die Winkel bei M und N:

    ⟪ /_L'MN = /_NML ⟫
    ⟪ /_LNM = /_MNL' ⟫

  4. Daraus folgt für ⟪/_NML⟫ und ⟪/_LNM⟫:

    ⟪ /_L'MN + /_NML = /_L'ML = 120° ⇒ /_NML = 60° ⟫
    ⟪ /_LNM + /_MNL' = /_LNL' = 120° ⇒ /_LNM = 60° ⟫

  5. Damit gilt auch ⟪ /_MLN = 60° ⟫ und das Dreieck A-B-C gleichseitig. ∎