Wegen der rechten Winkel ⟪/_ACB⟫, ⟪/_ADC⟫ und ⟪/_BDC⟫ sind einige (Teil-)Dreiecke ähnlich. Das heißt, sie haben gleiche Winkel und gleiche Seitenverhältnisse:
⟪(1)⟫ ⟪ /_\BCA ~~ /_\BDC rarr hat(BC) / hat(BD) = hat(AB) / hat(BC) ⟫
⟪(2)⟫ ⟪ hat(BC)^2 = hat(AB) * hat(BD) ⟫
⟪(3)⟫ ⟪ /_\ACB ~~ /_\ADC rarr hat(AC) / hat(AD) = hat(AB) / hat(AC) ⟫
⟪(4)⟫ ⟪ hat(AC)^2 = hat(AB) * hat(AD) ⟫
Durch Addition von ⟪(2)⟫ und ⟪(4)⟫ erhalten wir:
⟪(5)⟫ ⟪{: ( hat(BC)^2 + hat(AC)^2 = hat(AB) * hat(BD) + hat(AB) * hat(AD) ), ( hat(BC)^2 + hat(AC)^2 = hat(AB) * ( hat(BD) + hat(AD) ) ) :}⟫
Offensichtlich gilt:
⟪(6)⟫ ⟪ hat(AD) + hat(BD) = hat(AB) ⟫
Durch Einsetzen von ⟪(6)⟫ in ⟪(5)⟫ erhalten wir:
⟪(7)⟫ ⟪{: ( hat(BC)^2 , + , hat(AC)^2 , = , hat(AB) * hat(AB) ), ( hat(BC)^2 , + , hat(AC)^2 , = , hat(AB)^2 ), ( a^2 , + , b^2 , = , c^2 ∎ ) :}⟫
