Mathematischer Weihnachtsbaum

Geschrieben von am .

               
                
                 
                  
                   
                    
        1 * 8 + 1 = 9
       12 * 8 + 2 = 98
      123 * 8 + 3 = 987
     1234 * 8 + 4 = 9876
    12345 * 8 + 5 = 98765
   123456 * 8 + 6 = 987654
  1234567 * 8 + 7 = 9876543
 12345678 * 8 + 8 = 98765432
123456789 * 8 + 9 = 987654321
                

Pflanzanleitung:

Wir definieren zwei Zahlenfolgen ⟪l_i⟫ und ⟪r_i⟫:

⟪ l_1 := 1, l_(i+1) := l_i * 10 + (i+1)⟫

⟪ r_1 := 9, r_(i+1) := r_i * 10 + (9-i)⟫

Wir wollen zeigen, dass ⟪AA i ge 1⟫ gilt:

⟪ l_i * 8 + i = r_i ⟫

Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion.

Für ⟪ i= 1 ⟫ gilt:

⟪ l_1 * 8 + 1 = 1 * 8 + 1 = 9 = r_1 ⟫ ✓

Induktionsschritt von ⟪i⟫ auf ⟪i+1⟫ (für ⟪i ge 1⟫):

⟪{: ( l_i , * 8, + i , , = , r_i , ), ( (l_i * 10 ), * 8, , +10i , = , r_i * 10 , ), ( (l_i * 10 + i+1), * 8, + (i+1) , -9(i+1) + 10i , = , (r_i * 10 + 9-i) , -9 + i ), ( l_(i+1) , * 8, + (i+1) , -9 + i , = , r_(i+1) , -9 + i ), ( l_(i+1) , * 8, + (i+1) , , = , r_(i+1) ✓ , ) :}⟫