1 * 8 + 1 = 9 12 * 8 + 2 = 98 123 * 8 + 3 = 987 1234 * 8 + 4 = 9876 12345 * 8 + 5 = 98765 123456 * 8 + 6 = 987654 1234567 * 8 + 7 = 9876543 12345678 * 8 + 8 = 98765432 123456789 * 8 + 9 = 987654321
Pflanzanleitung:
Wir definieren zwei Zahlenfolgen ⟪l_i⟫ und ⟪r_i⟫:
⟪ l_1 := 1, l_(i+1) := l_i * 10 + (i+1)⟫
⟪ r_1 := 9, r_(i+1) := r_i * 10 + (9-i)⟫
Wir wollen zeigen, dass ⟪AA i ge 1⟫ gilt:
⟪ l_i * 8 + i = r_i ⟫
Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion.
Für ⟪ i= 1 ⟫ gilt:
⟪ l_1 * 8 + 1 = 1 * 8 + 1 = 9 = r_1 ⟫ ✓
Induktionsschritt von ⟪i⟫ auf ⟪i+1⟫ (für ⟪i ge 1⟫):
⟪{: ( l_i , * 8, + i , , = , r_i , ), ( (l_i * 10 ), * 8, , +10i , = , r_i * 10 , ), ( (l_i * 10 + i+1), * 8, + (i+1) , -9(i+1) + 10i , = , (r_i * 10 + 9-i) , -9 + i ), ( l_(i+1) , * 8, + (i+1) , -9 + i , = , r_(i+1) , -9 + i ), ( l_(i+1) , * 8, + (i+1) , , = , r_(i+1) ✓ , ) :}⟫